
(3.1)
Первое слагаемое правой части преобразует с помощью теоремы о среднем значении:

, где

.
В силу непрерывности функции

будем иметь:

,
где

при

,

.
Итак,

.
Второе слагаемое (3.1) преобразуем путем разложения подинтегральной функции по формуле Тейлора

где

является бесконечно малой более высокого порядка, чем

или

. В свою очередь линейная часть

может быть преобразована путем интегрирования по частям второго слагаемого подинтегральной функции к виду

.
Значение функционала берется лишь на экстремалях, следовательно

. Так как граничная точка

закреплена, то

. Следовательно,

.
Итак, окончательно имеем:

где приближенные равенства также справедливы с точностью до членов порядка выше первого относительно

и

.
Таким образом

Основное необходимое условие экстремума

приобретает вид

(3.2)
Если вариации

и

независимы, то получаем

и

Однако чаще всего вариации

и

бывают зависимы. Пусть, например, правая граничная точка

может перемещаться по некоторой кривой

Тогда

и условие (3.2) принимает вид

или, так как

изменяется произвольно, то

. (3.3)
Это условие устанавливает зависимость между угловыми коэффициентами

и

в граничной точке. Оно называется условием трансверсальности.
Условие трансверсальности совместно с условием

позволяет определить одну или несколько экстремалей пучка

, на которых может достигаться экстремум.
Пример. Найти условие трансверсальности для функционалов вида

Условие трансверсальности (3.3) имеет в данном случае вид

или

Полагая, что

в граничной точке, получим

или

.
Условие трансверсальности в данном случае свелось к условию ортогональности.
Если при исследовании на экстремум функционала

(3.4)
одна из граничных точек, например

перемещается (

,

), а другая,

, неподвижна, то экстремум может достигаться лишь на интегральных кривых системы уравнений Эйлера

,

(3.5)
Общее решение системы уравнений Эйлера содержит четыре произвольные постоянные. Зная координаты граничной точки

, которую считаем неподвижной, можно исключить две произвольные постоянные. Для определения двух других произвольных постоянных необходимо иметь еще два уравнения, которые могут быть получены из условия

, при условии, что функционал задается лишь на решениях системы уравнений Эйлера (3.5). При этом функционал

превращается в функцию координат

точки

и вариация функционала превращается в дифференциал этой функции. Если экстремали пучка с центром в точке

не пересекаются, то эта функция будет однозначной.
Вычисление вариации

проводится аналогично тому, как это делалось в 3.2:

Применяя теорему о среднем значении к первому интегралу и учитывая непрерывность функции

, выделив главную линейную часть с помощью формулы Тейлора во втором интеграле и используя равенства (3.5), получим

(3.6)
Откуда, учитывая зависимость

,

,

, получим

,

и

.
Если граничная точка

может перемещаться по некоторой кривой

,

, то