Вариации при исчислении (стр. 5 из 7)
При шарнирно-неподвижном закреплении краев пластинки должны выполняться условия
При x=0, x=a
(1.61)При y=0, y=b
(1.62)Получим уравнение Эйлера(Остроградского) для функционала (1.60) при краевых условиях (1.61), (1.62). Так как
то уравнение Остроградского принимает вид
(1.63)При этом
Поставив эти выражения в (1.63), получим уравнение Остроградского для функционала (1.60)
.(1.64)Уравнение (1.64) является уравнением равновесия рассматриваемой пластины и должно решаться при граничных условиях (1.61), (1.62).
1.13 Функционалы, зависящие от нескольких функций
Рассмотрим функционал
(1.65)Зададим его на парах
функций из 
(непрерывных вместе со своей первой производной), удовлетворяющих краевым условиям 
(1.66)где
– постоянные. Множество таких пар обозначим через D(J). Каждую такую пару будем называть вектором. За 
и 
возьмем функции из 
, удовлетворяющие условиям 
Множество векторов
, очевидно линейное, и D(J) есть линейное многообразие. Таким образом функционал (1.65) удовлетворяет требованиям 1,2,3.Строим две функции, близкие к u(x) и v(x):
и 
.Подставив их в функционал (1.65), получим функцию
от 
и 
. Найдем частные производные от по и при 
: 
Первая вариация функционала (1.65) выражается формулой
где
.Откуда получаем уравнения Эйлера для функционала (1.65) в виде системы двух дифференциальных уравнений
; 
(1.67)Эти уравнения должны решаться при краевых условиях (1.66).
2. Вариационные задачи с подвижными границами
2.1 Простейшая задача с подвижными границами
В гл. 1 при исследовании функционала
предополагается, что граничные точки
заданы.Предположим теперь, что одна или обе граничные точки могут перемещаться, тогда класс допустимых кривых расширяется. Поэтому, если на какой-нибудь кривой
достигается экстремум в задаче с подвижными граничными точками, то экстремум тем более достигается по отношению к более узкому классу кривых, имеющих общие граничные точки с кривой , и, следовательно, должно быть выполнено основное, необходимое для достижения экстремума в задаче с неподвижными границами условие – функция 
должна быть решением уравнения Эйлера: 
.Итак, кривые
, на которых реализуется экстремум в задаче с подвижными границами, должны быть экстремалями.Общее решение уравнения Эйлера содержит две произвольные постоянные, для определения которых необходимо иметь два условия. В задаче с неподвижными граничными точками такими условиями были
, 
.В задаче с подвижными границами одно или оба эти условия отсутствуют и недостающие условия для определения произвольных постоянных общего решения уравнения Эйлера должны быть получены из основного необходимого условия экстремума
, так как в задаче с подвижными границами экстремум достигается лишь на решениях 
уравнения Эйлера, то в дальнейшем можно рассматривать значение функционала лишь на функциях этого семейства. При этом функционал 
превращается в функцию параметров 
и 
и пределов интегрирования 
, 
, а вариация функционала совпадает с дифференциалом этой функции. Для упрощения будем считать, что одна из этих точек, например 
, закреплена, а другая 
может перемещаться и переходить в точку 
, или, как обычно обозначают в вариационном исчислении, 
.Допустимые кривые
и 
будем считать близкими, если модули вариаций 
и 
малы и малы модули приращений 
и 
.Экстремали, проходящие через точку
, образуют пучок экстремалей 
. Функционал 
на кривых этого пучка превращается в функцию и . Если кривые пучка не пересекаются, то этот функционал можно рассматривать как однозначную функцию и 
(рис. 3.1).2.2 Условие трансверсальности
 |
Вычислим вариацию функционала
на экстремалях пучка при перемещении граничной точки из положения 
в положение 
. Так как функционал 
на кривых пучка превратился в функцию 
и 
, то его вариация совпадает с дифференциалом этой функции. Выделим из приращения 
главную линейную по отношению к 
и 
часть: