Вариации при исчислении (стр. 4 из 7)
Уравнение Эйлера для функционала Э примет вид
Интегрирование дает
.Отсюда
.Интегрируя еще раз, придем к уравнению окружности радиуса
. (1.46)Таким образом, если решение существует, то это – дуга окружности. Для определения ее радиуса
и центра 
имеем три уравнения  |
| Рис. 1.2. |
.Пусть
будет угол, под которым виден отрезок AB из центра окружности (рис. 2): 
.Для определения
имеем уравнение 
,решение которого всегда возможно при указанном выше условии. Подставляя условия (1.3) в уравнение (1.46) находим
. Найдя 
из уравнения (1.46) найдем 
.1.10 Минимизирующая последовательность
Пусть J-произвольный ограниченный снизу функционал. В этом случае существует нижняя грань его значений
.Последовательность
элементов из D(J) называется минимизирующей для функционала J, если существует предел J(un), равный m.Теорема 1: Функционал, ограниченный снизу, имеет по крайней мере одну минимизирующую последовательность.
Из определения нижней грани следует, что: 1) для любого элемента
справедливо равенство 
; 2) для любого 
существует такой элемент 
из D(J), что 
. Положим 
и обозначим 
. Тогда 
, откуда следует, что 
.Теорема 2: Пусть D(J) – линейное многообразие некоторого банахова пространства X. Если функционал J непрерывен в D(J) и существует предел минимизирующей последовательности
, то элемент 
сообщает функционалу J минимальное значение.Доказательство вытекает из непрерывности функционала
.Теоремы 1, 2 создают возможность решать задачу о минимуме функционала, минуя уравнение Эйлера. Для этого надо прежде всего погрузить множество D(J) в такое банахово пространство X, в котором функционал J был бы непрерывен. Далее следует построить минимизирующую последовательность. Если она сходится, то ее предел решает вариационную задачу.
На этом построены численные вариационные методы (см 15) и обоснование их сходимости.
1.11 Функционал от функций, нескольких независимых переменных
Рассмотрим конечную область
в m-мерном Евклидовом пространстве. Будем считать, что граница Г области состоит из конечного числа кусочно-гладких (m-1) – мерных поверхностей.Рассмотрим функционал
(1.47)при условии
, где g(x) – заданная непрерывная функция на поверхности Г. Считаем, что выполнены требования 1, 2, 3.Найдем первую вариацию функционала (1.47)
(1.48)Здесь обозначено
.Пусть функция
такова, что существуют обобщенные производные 
.Тогда имеем
и, следовательно
(1.49)В этом случае уравнение Эйлера для функционала (1.47) принимает вид
, 
(1.50)и называется уравнением Остроградского.
Пример.
Найти уравнение Эйлера для функционала
при краевом условии
.Пусть функция
подчиняется всем оговоренным выше условиям, тогда уравнение (1.50) принимает вид 
. (1.51)1.12 Функционал от функций, имеющих производные высших порядков
Рассмотрим функционал вида
. (1.52)Будем считать, что функция
определена в области
и в этой области k раз непрерывно дифференцируема.
Функционал (1.52) зададим на функциях
, удовлетворяющих краевым условиям 
(1.53)где Ai, Bi– заданные постоянные. Возьмем функцию
в виде 
, чтобы удовлетворялись требования 1,2,3 и составим функционал 
(1.54)Пусть функция такова, что
имеет обобщенную производную j-го порядка, тогда 
и, следовательно,
(1.55)Откуда получим уравнение Эйлера
(1.56)с краевыми условиями (1.53).
Сказанное выше переносится на случай функции многих независимых переменных. Для функционала
(1.57)при краевых условиях
(1.58)где
– нормаль к Г.Уравнение Остроградского будет иметь вид
(1.59)Это уравнение должно решаться при краевых условиях (1.58)
Пример.
Выражение полной энергии деформации жесткой пластинки (плиты) при малых перемещениях, находящейся под действием поперечной нагрузки
, представляет собой функционал вида 
(1.60)где W(x, y) – прогиб пластинки;
; 
E, 
– механические характеристики материала пластинки; h– толщина пластинки.Функция W(x, y) является непрерывной функцией, имеющую непрерывную производную до четвертого порядка включительно и все требования 1,2,3 будут выполнены.