Вариации при исчислении (стр. 3 из 7)

Запишем вторую вариацию для функционала (1.13)

пользуясь определением второй вариации (1.35)

,

где

.

Так как

, то, предполагая наличие соответствующих производных у Ф, интегрируя по частям и принимая во внимание, что , получим

, (1.39)

где

.

Считаем, что необходимое условие экстремума выполнено, т.е.

и для определенности будем говорить о минимуме функционала (1.13). Функция , как функция переменной при должна иметь минимум, следовательно, необходимым условием минимума является тот факт, чтобы при любом выборе . Можно показать, что отсюда непосредственно вытекает, что вдоль экстремали должно иметь место равенство .

Условие

называют условием Лежандра.

Более сильное условие

называют усиленным условием Лежандра.

Рассмотрим интеграл, входящий в формулу (1.39), заменяя букву

буквой , получим

.

Уравнение Эйлера для этого интеграла будет иметь вид

, (1.40)

причем,

в этом уравнении есть коэффициент при и в силу условия , деля обе части уравнения на R, получим уравнение вида

с непрерывными в [a, b] коэффициентами p(x) и q(x). Уравнение (1.40) называют уравнением Якоби.

Пусть

- решение уравнения (1.40), удовлетворяющее начальным условиям

.

Существенным для дальнейшего будет тот факт, имеет ли решение

корни внутри промежутка [a, b]. Оказывается, что если такие корни имеются, то исследуемая экстремаль не может давать минимум функционалу (1.13).

Если

при a < x < b, то говорят, что экстремаль u(x) в промежутке (a, b) удовлетворяет условию Якоби, а если при , то говорят, что экстремаль u(x) удовлетворяет усиленному условию Якоби. Следует заметить, что коэффициенты S и R уравнения (1.40) зависят от экстремали u(x) и, следовательно, высказанные выше условия являются условиями, накладываемыми на экстремаль u(x).

Имеет место следующая теорема. Усиленные условия Лежандра и Якоби достаточны для того, чтобы экстремаль давала слабый (местный) экстремум функционалу (1.13).

Можно показать, что если выполнены усиленные условия Лежандра и Якоби и, кроме того,

положительно для всякого конечного p в некоторой области, содержащей экстремаль u(x) внутри, то эта экстремаль дает сильный (абсолютный) минимум.

Пример. Докажем, что экстремаль (1.30) (см Пример 1 в 1.8) дает функционалу (1.28) сильный минимум. Из (1.28) имеем

, , ,

Уравнение (1.40) принимает вид

его решение при условии

, имеет вид

.

Функция

на отрезке удовлетворяет усиленному условию Якоби, так как на этом отрезке она положительна. Так как то и усиленное условие Лежандра выполняется. Следовательно, экстремаль (1.30) даёт функционалу (1.28) сильный (абсолютный) минимум.

1.9 Изопериметрическая задача

Изопериметрическая задача ставится следующим образом: Даны функционалы

и постоянные ; среди элементов области определения D(J) функционала J, удовлетворяющего уравнениям

(1.41)

требуется найти элемент, доставляющий функционалу J наименьшее значение.

Считается, что область

не пуста.

Частным случаем изопериметрической задачи является задача о наибольшей площади, поставленная в 2.2.

Здесь n=1.

(1.42)

За D(J) можно принять множество тех функций из С [a, b], которые обращаются в нуль при x=a и x=b (условие 3), а за

– множество функций из С[1] [a, b], удовлетворяющих тем же условиям (1.3). Очевидно пересечение не пусто. Будем считать, что функционалы удовлетворяют требованиям 1,2,3. Пересечение линейных многообразий само есть линейное многообразие, поэтому существует элемент и линейное многообразие такое, что любой элемент имеет вид .

Будем считать, что множество

плотно в рассматриваемом пространстве.

Справедлива теорема, принадлежащая Эйлеру и известная под названием правила множителей для изопериметрической задачи.

Теорема Эйлера: Пусть элемент

решает изопериметрическую задачу. Если существуют такие элементы , что определитель

(1.43)

отличен от нуля, то найдутся такие постоянные

, что

(1.44)

Рассмотренная теорема дает только необходимое условие минимума для изопериметрической задачи.

Техника решения изопериметрической задачи такова: составляя функционал

, (1.45)

где

– неизвестные постоянные, и составляем для этого функционала уравнение Эйлера. Оно содержит в качестве неизвестных элемент u0 и постоянные . Эти неизвестные определяются из уравнения Эйлера (1.41) и изопериметрических равенств (1.41).

В качестве примера рассмотрим задачу о наибольшей площади (см. 2.2). В соответствии с теоремой Эйлера введем постоянный множитель

и составим функционал