Бипримарные группы (стр. 8 из 15)

Допустим, что порядок

делится на и пусть --- силовская -подгруппа из . Тогда --- неразрешимая группа, поэтому из теоремы Виландта-Кегеля следует, что . Так как есть -группа, то и по лемме из (4) группа есть -группа, противоречие. Следовательно, порядок не делится на . Но тогда делит порядок . Рассуждая как и в лемме, получаем, что , а из следует, что .

Пусть

--- минимальная инвариантная в подгруппа. В силу теоремы Виландта-Кегеля и разрешима. Если , то, применяя к индукцию, получаем, что или и --- простое число, а группа из заключения теоремы, противоречие. Значит, , кроме того, и , где --- силовская -подгруппа из , --- инвариантное -дополнение в . Проверка показывает, что --- простая группа. Пусть --- силовская -подгруппа из , для которой . Если , то централизатор элемента из содержит подгруппы и , что противоречит простоте . Далее, , поэтому --- подгруппа. Но , значит, .

Пусть

--- силовская 2-подгруппа в , тогда --- силовская в . Как и в теореме (??), можно показать, что неабелева и неизоморфна . Значит, . Пусть , --- дополнение к в . Если , то повторение соответствующих рассуждений из теоремы приводит к противоречию. Значит, . Так как , то из результата Уолеса заключаем, что изоморфна одной из следующих групп: , , , , , . Для них группа Шмидта должна иметь соответственно следующие порядки: , , , , , , причем , 5, 7, 7, 13 или 17 соответственно. Но это возможно лишь когда или и в силовская 3-подгруппа абелева. Так как и в и силовские 3-подгруппы неабелевы, то получили противоречие. Теорема доказана.

4. Произведение бипримарной и 2-разложимой групп

В (1) описаны конечные неразрешимые группы, являющиеся произведением двух подгрупп взаимно простых порядков, одна из которых есть группа Шмидта, а вторая --- 2-разложимая группа (см. также(2)). Все свойства группы Шмидта хорошо известны, в частности, она бипримарна, т. е. ее порядок делится в точности на два различных простых числа, и в ней содержится неединичная циклическая силовская подгруппа.

Развивая указанный результат работы(6), мы доказываем в настоящей заметке следующую теорему.

ТеоремаПусть конечная группа

является произведением своих подгрупп

и

взаимно простых порядков, и пусть

--- бипримарная группа, а

--- 2-разложимая группа четного порядка. Предположим, что в

есть неединичная циклическая силовская подгруппа

. Тогда, если

неразрешима, то

изоморфна

или

.