Бипримарные группы (стр. 7 из 15)

Пусть

. Покажем, что для всех . Возьмем произвольный элемент , . Тогда , поэтому , . Теперь . Так как , то . Применяя результат Гольдшмидта, получаем: или . Но этот изоморфизм ввиду невозможен. Противоречие. Теорема доказана.

ЛеммаПусть

--- простое число, делящее порядки групп

и

. Если

--- группа Шмидта, а

---

-разложимая группа, то группа

непроста.

Доказательство. Пусть

--- силовская -подгруппа из , а --- силовская -подгруппа из , для которых и есть силовская -подгруппа в [??].

Пусть

инвариантна в . Тогда для любого , , имеем: . По лемме Кегеля [??] группа непроста.

Пусть

неинварпантна в . Тогда циклическая и каждая собственная подгруппа из инвариантна в . Если --- силовская подгруппа в , то и , где --- силовская подгруппа из . По лемме Бернсайда группа непроста. Пусть не является силовской в . Тогда содержится как подгруппа индекса в некоторой группе , . Для элемента теперь содержит и . Если , то непроста по лемме Бернсайда. Если , то и непроста по лемме С. А. Чунихина.

Теперь из теоремы (2) и леммы (5) вытекает

ТеоремаПусть

--- группа Шмидта;

---

-разложимая группа, где

. Если

и

--- простая группа, то

,

или

и

--- простое число.

Ясно, что условие теоремы (??) охватывает случай, когда

нильпотентна.

ТеоремаПусть

--- неразрешимая группа, где

--- группа Шмидта,

--- нильпотентная группа. Тогда

.

и

--- простое число,

или

для некоторого простого числа

.

Доказательство. Пусть группа

--- контрпример минимального порядка. Как и в теореме (??), пусть . Ясно, что . Группа не является произведением группы Шмидта и нильпотентной группы, поэтому из теоремы (??) следует, что порядки и не взаимно просты, а из леммы (??) вытекает, что --- непростая группа.