Бипримарные группы (стр. 6 из 15)

Порядок факторгруппы

равен , и делится на . Так как , то делит порядок . Это противоречит взаимной простоте порядков факторов.

Следовательно,

содержит подгруппу . Так как --- циклическая силовская подгруппа в , то --- простая группа и по индукции , или , где --- простое число. Так как , разрешима, a , то . Теперь изоморфна некоторой подгруппе из . Если или , то или . допускает факторизацию с группой Шмидта порядка 21 и 2-группой порядка 16. Группа не допускает требуемой факторизации. Если --- простое число, то и --- простое число. Так как , где , то . Противоречие.

Таким образом,

--- простая группа.

Предположим, что силовская 2-подгруппа группы

абелева. Тогда по результату Уолтера [??] группа может быть изоморфной только одной из следующих групп: , или , группе Янко порядка 175560 или группе типа Ри. Из групп для указанных лишь группы или , где --- простое число, допускают нужную факторизацию [??]. Группа Янко не допускает требуемой факторизации [??]. Порядок группы делится более чем на три простых числа, и силовская 3-подгруппа содержит свой централизатор, элемент порядка 9 и неабелева(5). Поэтому неизоморфна .

В дальнейшем будем считать, что силовская 2-подгруппа в

неабелева. Так как порядки и взаимно просты, то некоторая силовская 2-подгруппа из содержится либо в , либо в . Если , то и группа изоморфна для некоторого . Но в этом случае , поэтому , и делит . Так как , то делит . Но порядок делится на , а значит, и на . Противоречие.

Следовательно,

. Теперь , , --- инвариантное 2-дополнение в . Если , то и ввиду леммы Бернсайда [??]. Поэтому , --- элементарная абелева -группа и --- показатель числа по модулю . Из результатов Уолеса [??] непосредственно получаем, что . Противоречие.

Значит,

. Введем следующие обозначения: --- минимальная инвариантная в подгруппа; --- силовская подгруппа из , содержащая ; ; . Так как , то и разрешима. Кроме того, и по лемме С. А. Чунихина ((4), см. также лемму 1.16.1 из(3)) не содержит подгрупп инвариантных в . Применяя лемму (??) настоящей работы, получаем, что . Так как и , то и . Таким образом, .