Бипримарные группы (стр. 5 из 15)

Лемма Пусть разрешимая группа

, где

--- группа нечетного порядка,

--- 2-замкнутая группа четного порядка и

. Если

, то

Доказательство проведем индукцией по порядку группы

. Введем следующие обозначения: ; --- минимальная инвариантная в подгруппа; ; --- силовская 2-подгруппа; --- ее дополнение. Ясно, что . Если , то , отсюда и . Пусть и --- минимальная инвариантная -подгруппа в . Тогда и , где --- силовская -подгруппа для . Можно считать, что , поэтому . Кроме того, неинвариантна в , значит --- собственная в подгруппа. Замечание Фраттини дает, что . Теперь и . Так как , то , т. е. --- собственная в подгруппа. Порядки и взаимно просты, поэтому . По индукции , поэтому и . Лемма доказана.

Доказательство теоремы(4). Допустим, что теорема неверна и группа

--- контрпример минимального порядка. Пусть , --- инвариантная силовская -подгруппа, --- силовская -подгруппа. Так как факторгруппа группы Шмидта является либо группой Шмидта, либо циклической -группой, то благодаря теореме В. А. Ведерникова (5)можно считать, что .

Допустим, что группа

непроста и --- минимальная инвариантная в подгруппа. Тогда --- неразрешимая группа.

Предположим, что

не содержит . Тогда нильпотентна, а так как , то по теореме Я. Г. Берковича (6) подгруппа имеет четный порядок. Теперь по теореме 1 из (5) получаем, что силовская 2-подгруппа в неабелева. Так как , то из свойств групп Шмидта следует, что содержится в и --- силовская 2-подгруппа в . Если непроста, то --- неразрешимая группа, где --- некоторая инволюция из центра . Так как и --- группа Шмидта четного порядка, то по индукции , или , --- простое число. Замечая, что и --- абелева группа порядка 4 или , получаем, что, . Теперь должно быть четным числом, значит, . В этих случаях и --- группа кватернионов порядка 8, что противоречит тому, что . Следовательно, --- простая группа. По теореме Мазурова-Сыскина группа изоморфна . Поэтому , значит, и