Бипримарные группы (стр. 3 из 15)

Лемма Если конечная группа

не является

-свободной, то существуют

-подгруппы

и

такие, что

нормальна в

и

.

Доказательство. По условию в группе

существует секция , изоморфная . Пусть --- нормальная в подгруппа индекса , содержащая подгруппу с индексом . По лемме Фраттини , где --- силовская -подгруппа из , Так как имеет индекс в силовской -подгруппе из , то разрешима и содержит -холловскую подгруппу . Кроме того, и .

Лемма Конечная группа, содержащая нильпотентную

-холловскую подгруппу,

-разрешима.

Доказательство. Достаточно показать непростоту группы

в случае, когда делит . Предположим, что простая и делит . В -свободных группах нет нильпотентных -холловских подгрупп [??], отличных от -силовской. Если не -свободна, то по лемме (??) существует ненильпотентная -подгруппа. Это противоречит теореме Виландта [??]. Лемма доказана.

Через

обозначим произведение всех разрешимых нормальных в подгрупп.

Лемма Пусть конечная группа

и пусть

разрешима, а

взаимно прост с

. Если в

существует нилъпотентная

-холловская подгруппа, то

разрешима.

Доказательство. Если

--- -группа, то разрешима по лемме Сыскина(2). Пусть делит и --- минимальная нормальная в подгруппа. Если , то и разрешима по индукции, поэтому разрешима и . Пусть . Тогда и имеет порядок взаимно простой с . Значит нильпотентная -холловская подгруппа из содержится в и -разрешима по лемме(2). Из минимальности следует, что разрешима. Итак, в любом случае содержит разрешимую нормальную подгруппу . Фактор-группа удовлетворяет условиям леммы и по индукции разрешима. Поэтому разрешима и . Лемма доказана.

Теорема (??) вытекает из следующей более общей теоремы

ТеоремаПусть

и

--- подгруппы конечной группы

и пусть

. Предположим, что

и

---

-замкнуты для каждого

. Если

и

-разложимы и

-разложимы, то

разрешима.

Доказательство индукцией по порядку

. Пусть --- минимальная нормальная в подгруппа. Фактор-группа , а подгруппы и будут - и -разложимыми и -замкнутыми для каждого . По индукции разрешима, а неразрешима. Поэтому и . Следовательно, в единственная минимальная нормальная подгруппа.