Конечная группа называется

-разложимой для простого числа

, если силовская

-подгруппа выделяется в ней прямым множителем. Нильпотентная группа

-разложима для каждого

. Через

обозначается множество всех простых делителей порядка группы

.
Теорема Пусть
и
--- подгруппы конечной группы
и пусть
. Если подгруппы
и
-разложимы для каждого
, то
разрешима. Теорема (1) обобщает известную теорему Виландта-Кегеля о разрешимости конечной группы, являющейся произведением нильпотентных подгрупп [??].
Для доказательства теоремы (2) нам потребуется следующая лемма(3), которая несколько уточняет лемму Кегеля(4). Напомним, что

--- центр

, а если

--- подгруппа группы

, то

--- наименьшая нормальная в

подгруппа, содержащая

. Группа

называется
-замкнутой, если в ней силовская

-подгруппа

нормальна.
Лемма Пусть
и
--- подгруппы конечной группы
, обладающие следующими свойствами: 1)

для всех

;
2)

, где

.
Тогда

.
Доказательство. Воспользуемся методом доказательства леммы Кегеля. Пусть

--- наибольшая

-подгруппа, содержащая

и перестановочная с каждой подгруппой, сопряженной с

. Предположим, что

не содержится в

. Это означает, что существуют элементы

и

такие, что

не принадлежит

. Поэтому

--- собственная подгруппа в

и

есть

-группа. Кроме того,

перестановочна с каждой сопряженной с

подгруппой, так как этим свойством обладает

. Теперь

для всех

, что противоречит выбору

.
Итак,

. Значит,

и

--- нормальная в

-подгруппа. Из условия 2) следует, что

и

. Так как

и

, то

. Поэтому

.
Лемма Пусть конечная группа
с
-замкнутыми подгруппами
и
. Если
, то
. Доказательство. Так как

, то

для всех

,

. Первое условие леммы (5) выполнено. Так как выполняется и второе, то

.
Секцией группы
называется фактор-группа некоторой подгруппы из 
. Если

не содержит секций, изоморфных симметрической группе

четырех символов, то

называется
-свободной.