Теперь силовская 2-подгруппа

из

изоморфна силовской 2-подгруппе из группы

или

, т. е.

--- диэдральная группа порядка 8 или 16. Поэтому и изоморфна

или

нечетное. Но этот изоморфизм ввиду

невозможен. Теорема доказана.

Доказательство следствия теоремы. Пусть утверждение неверно и группа

--- контрпример минимального порядка. Фактор-группа

неразрешима и по теореме она изоморфна

или

. Поэтому порядок

-группы

равен 3 или 7. Значит,

. Теперь, повторяя дословно второй и третий абзацы доказательства следствия теоремы, мы приходим к противоречию.

Заключение

Итак, в данной курсовой работе приводятся свойства конечных групп, являющихся произведением двух групп, одна из которых группа Шмидта, а вторая 2-разложимая, произведением бипримарной и 2-разложимой групп. Доказываются следующие теоремы:

Теорема.Пусть

и
--- подгруппы конечной группы
и пусть
. Если подгруппы
и

-разложимы для каждого
, то
разрешима.

Теорема.Пусть

и
--- подгруппы конечной группы
и пусть
. Предположим, что
и
---
-замкнуты для каждого
. Если
и

-разложимы и
-разложимы, то
разрешима.

Теорема.Пусть

есть группа Шмидта,
--- 2-разложимая группа, порядки
и
взаимно просты. Если
и
--- конечная неразрешимая группа, то
,
,
и
--- простое число
или
для некоторого простого
.

Теорема.Пусть

--- группа Шмидта;
---
-разложимая группа, где
. Если
и
--- простая группа, то
,
или
и
--- простое число.

Теорема.Пусть конечная группа

является произведением своих подгрупп
и
взаимно простых порядков, и пусть
--- бипримарная группа, а
--- 2-разложимая группа четного порядка. Предположим, что в
есть неединичная циклическая силовская подгруппа
. Тогда, если
неразрешима, то
изоморфна
или
.

Теорема.Пусть неразрешимая группа

является произведением бипримарной подгруппы
и примарной подгруппы
. Тогда, если среди силовских подгрупп группы
есть циклическая, то
изоморфна одной из следующих групп:

;

, где

--- силовская 3-подгруппа;

, порядок

равен

, а

Бипримарные группы (стр. 14 из 15)

Заключение