Бипримарные группы (стр. 13 из 15)
6. Доказательство теоремы (3)
Допустим, что теорема неверна и группа
--- контрпример минимального порядка. Пусть 
--- циклическая силовская 
-подгруппа в 
, а 
, где 
--- силовская 2-подгруппа в , 
--- ее инвариантное дополнение в 
. В силу леммы (??) условие теоремы выполняется для 
, поэтому мы можем считать, что 
.Пусть
--- минимальная инвариантная в подгруппа. Тогда неразрешима, 
и по лемме (??) порядок делится на . Силовская -подгруппа 
циклическая, поэтому --- простая группа. Теперь, если 
--- другая инвариантная в подгруппа, то силовская -подгруппа 
пересекается с 
не по единице. Из минимальности следует, что содержится в . Таким образом, --- единственная минимальная инвариантная в подгруппа. Так как централизатор 
подгруппы инвариантен в и пересекается с по единице, то и 
. Следовательно, изоморфна подгруппе группы автоморфизмов группы .Если
--- собственная в подгруппа, то по индукции изоморфна 
. Но тогда изоморфна 
, противоречие.Таким образом,
--- простая группа. В силу теоремы (??) подгруппа неединична.Введем следующие обозначения:
--- минимальная инвариантная в подгруппа, 
--- силовская подгруппа из , содержащая , 
. Так как инвариантна в , то 
.Допустим, что
. Напомним, что 
--- наибольшая инвариантная в группе -подгруппа. Так как 
и 
, то и 
. Поэтому 
. Пусть 
. Покажем, что 
для всех 
. Возьмем произвольный элемент 
, 
. Тогда 
, поэтому 
для некоторого 
. Теперь 
. Так как 
инвариантна в 
, то 
. По теореме Гольдшмидта получаем, что либо абелева, либо изоморфна 
или 
. Если абелева, то группа разрешима, противоречие. Так как 
, то изоморфизм с группами и 
) невозможен.Таким образом,
. Группа 
, и 
не содержит подгрупп, инвариантных в 
. По лемме 1 из [??] группа неразрешима. Значит, бипримарна, и делит порядок . По индукции 
изоморфна или .Допустим, что
имеет четный порядок. Подгруппа факторизуема, a 
инвариантна в , значит, и 
. Если 
содержит неединичную подгруппу, инвариантную в , то и 
содержит подгруппу, инвариантную в , противоречие. По лемме 1 из [??] подгруппа 
неединична, противоречие. Следовательно, порядок нечетен.