Биография и труды Колмогорова А.Н. (стр. 3 из 4)
Следовательно, является уместным положить P(x+y) = P(x) + P(y) (аксиома IV).
2.3 Аксиома непрерывности и бесконечные вероятностные пространства
В отличие от элементарной теории вероятностей, теоремы, которые выводятся в общей математической теории вероятностей, естественно применяются также и к вопросам, связанным с бесконечным числом случайных событии, однако при изучении этих последних применяются существенно новые принципы. В большей части современной теории вероятностей предполагается, что кроме аксиом элементарной теории вероятностей (I—IV) выполняется ещё аксиома V (аксиома непрерывности). Для убывающей последовательности
событий из Fтакой, что 
Ø, имеет место равенство 
.Аксиома непрерывности — это единственная аксиома современной теории вероятностей, относящаяся именно к ситуации бесконечного числа случайных событий. Обычно в современной теории вероятностей вероятностным пространством называется только такое вероятностное пространство (Ω, F, P), которое, кроме того, удовлетворяет аксиоме V. Вероятностные пространства в смысле аксиом I—IV Колмогоров предлагал называть вероятностными пространствами в расширенном смысле (у Колмогорова поле вероятностей в расширенном смысле), в настоящее время этот термин употребляется крайне редко. Заметим, что если система событий Fконечна, аксиома V следуeт из аксиом I—IV. Все модели с вероятностными пространствами в расширенном смысле удовлетворяют, следовательно, аксиоме V. Система аксиом I—V является, непротиворечивой и неполной. Напротив, для бесконечных вероятностных пространств аксиома непрерывности V является независимой от аксиом I—IV.
Так как новая аксиома существенна лишь для бесконечных вероятностных пространств, то почти невозможно разъяснить её эмпирическое значение, например, так, как это было проделано с аксиомами элементарной теории вероятности (I—IV). При описании какого-либо действительно наблюдаемого случайного процесса можно получать только конечные поля — вероятностные пространства в расширенном смысле. Бесконечные вероятностные пространства появляются как идеализированные схемы действительных случайных явлений. Общепринято молчаливо ограничиваться такими схемами, которые удовлетворяют аксиоме V, что оказывается целесообразным и эффективным в различных исследованиях.
2.4Бесконечные вероятностные пространства и «идеальные события»
Алгебра Fсобытий пространства элементарных событий Ω называется борелевской алгеброй, если все счётные суммы
событий xn из Fпринадлежат F. В современной теории вероятностей борелевские алгебры событий обычно называют σ-алгебрами событий (сигма-алгебрами).Пусть дано вероятностное пространство в расширенном смысле (Ω, F0, P). Известно, что существует наименьшая сигма-алгебра F = σ(F0), содержащая F0.
Более того, справедлива теорема (о продолжении). Определённую на (Ω, F0) неотрицательную счётно-аддитивную функцию множеств P = P(·) всегда можно продолжить с сохранением обоих свойств (неотрицательности и счётной аддитивности) на все множества из F и при этом единственным образом.
Таким образом, каждое вероятностное пространство (Ω, F0, P) в расширенном смысле может быть математически корректно продолжено до бесконечного вероятностного пространства (Ω, F, P), которое в современной теории вероятностей принято называть просто вероятностным пространством.
Вместе с тем множества из сигма-алгебры Fбесконечного вероятностного пространства можно рассматривать только как «идеальные события», которым ничего не соответствует в реальном мире.
Если, однако, рассуждение, которое использует вероятности таких «идеальных событий» приводит к определению вероятностей «реального события» из F, то это определение, очевидно, автоматически будет непротиворечивым и с эмпирической точки зрения.
2.5 Двойственность Колмогорова
Двойственность Колмогорова — двойственность в алгебраической топологии, состоящая в двух изоморфизмах:
Пусть A есть замкнутое множество хаусдорфова локально компактного пространства R.
Двойственность Колмогорова для групп гомологий даёт изоморфизм
,если Hr(R,G) = 0 и Hr + 1(R,G) = 0.
Двойственность Колмогорова для групп когомологий даёт изоморфизм
,если Hr(R,G) = 0 и Hr + 1(R,G) = 0.
2.6 Гносеологический принцип
Гносеологический принцип - утверждение, что в мышлении и творчестве человека проявляется только тенденция к поискам более простых (оптимальных) решений. Достижение лучших решений, построенных совсем иначе, таких решений, которые не могут быть получены из предложенного путем мелких улучшений, лежит за пределами того, что может уловить самая изощренная интуиция.
Этот принцип был изложен в письме А. Н. Колмогорова от 27 августа 1963 г. (опубликовано в 2005 г.). В 2005 г. Экспериментальная проверка самообучения человека на моделях подтвердила истинность данного принципа. Поведение человека в таких условиях подобно поиску выхода из трясины: человек делает пробные шаги в разных направлениях. При неудаче он обычно возвращается в исходную позицию (элементарная 0-эвристика). Реже используется и другая тактика: при неудаче делается лишь еще один шаг (элементарная 1-эвристика). Поскольку в экспериментальных лабиринтах с переменной структурой наблюдается явление инвариантности (при воздействии на вход «черного ящика» значение выхода не меняется), то нахождение оптимума блокируется. Исследования показали, что этот принцип действителен для эволюции любых систем.
2.7 Средние Колмогорова
Средние Колмогорова (они же — средние по Колмогорову) для действительных чисел x1, … , xn — величины ряда (*)
,где φ — непрерывная строго монотонная функция, а φ-1 — функция, обратная к φ. При φ(x) = x получают среднее арифметическое, при φ(x) = logx – среднее геометрическое, при φ(x) = x-1 — среднее гармоническое, при φ(x) = x2 — среднее квадратическое, при φ(x) = xα, α ≠ 0 — среднее степенное.
В 1930 году А.Н. Колмогоров показал, что любая средняя величина — функция M(x1, …, xn), являющаяся:
· непрерывной,
· монотонной по каждому xi, i = 1, …, n
· симметрической (значение не меняется при перестановке аргументов)
· среднее от одинаковых чисел равно их общему значению,
· некоторую группу значений можно заменить их собственным средним, не меняя общего среднего,
— имеет вид ( * ).
Средние Колмогорова используют в прикладной статистике и эконометрике. В соответствии с теорией измерений для усреднения данных, измеренных в шкале интервалов, из всех средних Колмогорова можно использовать только среднее арифметическое, а для усреднения данных, измеренных в шкале отношений, из всех средних Колмогорова можно использовать только степенные средние и среднее геометрическое.
2.8 Колмогоровы теоремы
Колмогоровы теоремы:
1. Теорема о нормированных пространствах (1934);
2. Теорема о применимости больших чисел закона (1928);
3. Теорема о применимости больших чисел усиленного закона (1930, 1933).
2.8.1 Теорема о нормированных пространствах
Нормированное пространство – векторное пространство X, наделенное нормой ||x||, x
X. Норма индуцирует на Х метрику ρ(x, y) = ||x-y|| и, следовательно, топологию, совместимую с этой метрикой. Полные относительно указанной метрики пространства называются банаховыми пространствами. Нормированное пространство тогда и только тогда является гильбертовым, когда||x+y|| + ||x-y|| = 2*||x||2 + 2*||y||2 для x, y
X.Отделимое топологическое векторное пространство нормируемо, если его топология совместима с некоторой нормой. Нормируемость равносильна существованию выпуклой ограниченной окрестности нуля.
2.8.2 Теорема о применимости больших чисел закона
Данная теорема Колмогорова дает ответ на вопрос: при каких условиях суммы Yn предельно постоянны?
Не ограничивая общности, можно предположить, что медианы величин Хn,kравны нулю; пусть Хn,k= Хn,kпри | Хn,k|≤1 и Хn,k= 0 при | Хn,k|>1, тогда одновременное выполнение двух условий
при 
и
при