Асимптотика решений дифференциальных уравнений (стр. 6 из 6)

(2.2.14)

Применяя формулу Тейлора, получаем

(2.2.15)

где функции

те же, что и в формуле (19.8), а

(2.2.16)

Подставляя представление (2.2.14) в уравнение (2.2.4), воспользовавшись представлением (2.2.15) и формулами (2.2.8), получаем уравнение для функции

.

(2.2.17)

где

(2.2.18)

Из формулы (2.2.6) получаем

и формула (2.2.18) может быть записана в виде

(2.2.19)

Так как вторые производные функции

ограничены, то функция удовлетворяет условию Липшица и

(2.2.20)

Вспоминая определение оператора

, получаем функциональное уравнение

(2.2.21)

Используя принцип сжатых отображений, покажем, что уравнение (2.1.21) при

имеет единственное решение, и справедливо неравенство . Тем самым будет доказано, что ряд является асимптотическим рядом для функции , являющейся решением задачи Коши (2.2.1).

Пусть

. Так как частные производные равномерно непрерывны, то из (2.2.17)- (2.2.20) получаем оценки

при

. Таким образом, шар радиуса отображается в себя при .

Используя (2.2.20), получаем

Используя равномерную непрерывность частных производных, получаем

Уменьшая, если нужно,

получаем, что при оператор является оператором сжатия. Следовательно,

и ряд

асимптотический для решения задачи Коши (2.1.1).

2.3 Существование решении возмущенной задачи

Результаты, полученные обладают той особенностью, что справедливость асимптотического представления гарантируется на некотором сегменте [0,T], определяемом свойствами правой части (2.3.1), одновременно с существованием и единственностью как невозмущенного, так и возмущенного уравнений.

Можно ставить вопрос иначе. Допустим, что решение невозмущенной задачи (2.3.2) существует, единственно и принадлежит некоторой области Gпространства переменных y(t,μ) при, 0≤t≤T.Величину T в данном случае можно, например, установить непосредственно из явного вида y(t). Будет ли при достаточно малых μ решение задачи (2.3.1) также существовать на всем [0,T] и подчиниться формуле (1.3)? Ответ на этот вопрос дает следующая

Теорема 1.2.Пусть в области

непрерывны и равномерно ограничены:

Пусть решение y(t)задачи (2.3.2) существует, единственно на [0,T] и принадлежит

. Тогда при каждом достаточно малом μ решение y(t,μ)задачи (2.3.1) также существует, единственно на [0,T] принадлежит G, и имеет место равномерный относительно

предельный переход

(2.3.8)

Доказательство. Перейдем в (2.3.1) к новой неизвестной функции

. Имеем

Перейдем к эквивалентному интегральному уравнению

(2.3.9)

где

причем

. Здесь и в

дальнейшем бесконечно малые при μ →0 величины будем обозначать

ω(μ), ω₁(μ) и т. д. Применим к уравнению (2.3.9) метод последовательных приближений и докажем, что ▲(t,μ) существует на сегменте [0,Т] и

.Это очевидно, равносильно утверждению теоремы 1.2.

Построим последовательные приближения обычным образом

Предварительно заметим, что так как y=y(t) принадлежит G для

кривая

, где при достаточно малом μ. также принадлежит G для

Положим

Тогда

(2.3.10)

^|

В равномерной сходимости последовательности ^(k)▲ к решению ▲(t,μ) уравнения (2.3.9) можно убедиться совершенно, может в пределе при k→∞ появиться равенство. Поэтому

, что равносильно (2.3.8).

Замечание. Теорема доказана для скалярного случая, но аналогичное утверждение справедливо и для случая, когда y — вектор.

2.3.2 Теорема 2.3.2 остается справедливой, если имеет место возмущение не только в уравнении, во и в начальных условиях, т. е. имеет вид

Литература

1. Понтрягин Л.С. Асимптотическое поведение решений системы дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных, Известия Ак. паук СССР, серия метем, 21(1957), 605—626.

2. Мищенко Е.Ф., Понтрягии Л.С. Периодические решения систем дифференциальных уравнении, близкие к разрывным, Доклады Ак. наук СССР, 102, № 5 (1955), 889-891.

3. Мищенко Е.Ф., Асимптотическое вычисление периодических решении систем дифференциальных уравнении, содержащих малые параметры при производные. Известия Ак. наук СССР, серия матем., 21 (1957), 627—654.

4. Мищенко Е., Понтрягии Л.С. Вывод некоторых асимптотических оценок для решений дифференциальных уравнений с малым параметром пр" производных, Известия Ак. наук СССР, серия матем., 23(1959), 643—660.

5. Тихонов А. И-, Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных, Матем. еборн., 31(73): 3 (1952), 574—586.

6. Боголюбов Н.И., Митропольский Ю.А., Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, Москва, 1955.

7. Митропольскнй Ю.А., Нестационарные процессы в нелинейных колебательных системах, Изд. АН УССР, 1955.