Аналитический метод в решении планиметрических задач (стр. 6 из 6)
Система (2) равносильна системе (1). Поэтому задача сводится к решению
этой системы. Подставим в первое из уравнений (2)
, найдем: 
, или 
. Отсюда 
, т.е. 
, 
. По найденным значениям х определим соответствующие значения у из уравнения 
; при 
получаем 
, при 
имеем 
. Таким образом, искомыми являются точки (1; 5) и (3; 3).Задача 5. Дан треугольник АВС. Проведены медианы СD и прямая l, пересекающая лучи СА, СВ, СD соответственно в точках М, N, K, таких, что
, 
, 
.Доказать, что
.Решение. Примем вершину С треугольника АВС за начало аффинной системы координат, а СА(а) и СВ(а) – за базисные векторы. В таком случае точки будут иметь координаты: А (1, 0); В (0, 1),
, М (m, 0), N (0, n). Так как СК(а) = kCD(а) и 
, то 
.Координаты точки К удовлетворяют уравнению прямой MN:
Подставив координаты точки К в это уравнение, получим:
Задача 6. Даны две прямые 2х + 3у - 5 = 0, 7х + 15у + 1 = 0, пересекающиеся в точке S. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку S и перпендикулярна к прямой 12х - 5у - 1 = 0.
Решение. Прежде всего, проверим утверждение условия задачи: данные прямые действительно пересекаются, так как
. Далее составим уравнение пучка прямых с центром S: 
(1)Чтобы выделить в этом пучке искомую прямую, вычислим согласно условию перпендикулярности этой прямой к прямой 12х - 5у - 1 = 0. Представив уравнение (1) в виде
(2)находим угловой коэффициент искомой прямой:
.Данная прямая имеет угловой коэффициент
.По условию перпендикулярности
, т.е. 
Отсюда
. Подставляя в уравнение (2), получаем -5x-12у-6=0 или 5х+12у+6 = 0.Задача решена.
Задача7. Даны равносторонний треугольник АВС и окружность, проходящая через вершины А и В, центр которой симметричен вершине С относительно прямой АВ. Доказать, что если М – произвольная точка окружности, то из отрезков МА, МВ, МС можно составить прямоугольный треугольник (который вырождается, если М = А или М = В).Решение. Введем на плоскости прямоугольную систему координат. За начало координат возьмем середину О отрезка АВ, точку В примем за единичную точку оси абсцисс (рис.7). Тогда |ОА| = |ОВ| = 1, |ВС| = 2 и |ОС| =
. Следовательно, данные точки получают координаты: А (-1,0), В (1, 0), С (0, 
), D (0, ). Уравнение окружности с центром D радиуса |АD| имеет вид 
. Пусть 
- некоторая точка этой окружности. Требуется доказать, что |МА|2 + |МВ|2 = |МС|2.По формуле расстояния между двумя точками имеем: 
; 
; 
.Отсюда
.Учитывая, что координаты точки
удовлетворяют уравнению окружности, т.е. 
, получаем:|МА|2 + |МВ|2 = |МС|2.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Алгебра и геометрия, которые сейчас большинство школьников воспринимают как совершенно разные науки, на самом деле очень близки. С помощью метода координат можно было бы изложить весь школьный курс геометрии без единого чертежа, используя только числа и алгебраические операции. Курс планиметрии начинался бы словами: «Назовем точкой пару чисел (х, у) ...». Далее можно было бы определить окружность как совокупность точек, удовлетворяющих уравнению вида
(х — а)2 + (у — b)2 = R2. Прямой линией называлась бы совокупность точек, удовлетворяющих уравнению ах + by + с = 0. Многие другие фигуры можно было бы также охарактеризовать системами уравнений и неравенств. Все геометрические теоремы превратились бы при этом в некоторые алгебраические соотношения. Установление связи между алгеброй, с одной стороны, и геометрией, с другой, было, по существу, революцией в математике. Оно восстановило математику как единую науку, в которой нет «китайской стены» между отдельными ее частями. Создателем метода координат считают французского философа и математика Рене Декарта (1596—1650). В последней части большого философского трактата Декарта, вышедшей в 1637 году, давались описание метода координат и его применение к решению геометрических задач. Развитие идей Декарта привело к возникновению особой ветви математики, которую теперь называют аналитической геометрией.
Само это название выражает основную идею теории. Аналитическая геометрия — это та часть математики, которая решает геометрические задачи аналитическими (т. е. алгебраическими) средствами. Хотя аналитическая геометрия является сейчас уже вполне развившимся и законченным разделом математики, идеи, лежащие в ее основе, породили новые отрасли математики. Возникла и развивается алгебраическая геометрия, которая изучает свойства линий и поверхностей, заданных алгебраическими уравнениями. Эту часть математики никак нельзя считать законченной. Как раз в последние годы в ней получены новые фундаментальные результаты, оказавшие большое влияние и на другие разделы математики.
Характерной особенностью метода координат является определение геометрических фигур уравнениями, что позволяет производить геометрические исследования и решать геометрические задачи средствами алгебры. Придавая геометрическим исследованиям алгебраический характер, метод координат переносит в геометрию наиболее важную особенность алгебры — единообразие способов решения задач. Если в арифметике и элементарной геометрии приходится, как правило, искать для каждой задачи особый путь решения, то в алгебре и аналитической геометрии решения проводятся по общему для всех задач плану, легко приспособляемому к любой задаче. Можно сказать, что аналитическая геометрия занимает такое же положение по отношению к элементарной геометрии, какое алгебра занимает относительно арифметики. Перенесение в геометрию свойственных алгебре и поэтому обладающих большой общностью способов решения задач составляет главную ценность метода координат. Приёмы элементарной геометрии в отдельных случаях позволяют находить изящные решения, более простые, чем получаемые методом координат.
Другое достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных конфигураций. При практическом применении понятия координат координаты предмета, рассматриваемого условно как точка, могут быть определены лишь приближённо. Задание координат предмета означает, что точка, определяемая этими координатами, либо является одной из точек этого предмета либо достаточно близка к нему.
Метод координат важен также и тем, что он позволяет применять современные вычислительные машины к решению геометрических задач, к исследованию любых геометрических объектов и соотношений.
Список используемой литературы.
1. Габович И., Горнштейн П. Вооружившись методом координат// Квант. – 1978. - №11. – с. 42 – 47.
2. Гельфанд И.М. Глаголева Е.Г., Нириллов А.А. Метод координат. – М.: Наука, 1973.
3. Готман Э.Г. Скопец З.А., Решение геометрических задач аналитическим методом. – М.: Просвещение, 1979.
4. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии: Учебн. пособие. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
5. Игошин В.И. Аналитическая геометрия. – Саратов: Наука, 2007.
6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. — М.: Наука, 1999.
7. Погорелов А.В. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1968.
8. Смогоржевский А. С. Метод координат. – М., Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952.