Аналитический метод в решении планиметрических задач (стр. 2 из 6)

Пусть на плоскости задана система координат R={О, е(а)₁, е(а)₂} и произвольная точка М. Вектор ОМ(а) = r(а)_м называется радиус-вектором точки М относительно точки О (или системы координат R).

Определение. Координатами точки М в системе координат R={О, е(а)₁, е(а)₂} называются координаты её радиус-вектора ОМ(а) в базисе е(а)₁, е(а)₂, то есть коэффициенты х, у в его разложении в линейную комбинацию векторов базиса: М(х, у)_R - ОМ(а) = хе(а)₁+ уе(а)₂.

Итак, понятие координат точки тесно связывается с понятием координат вектора, а понятие системы координат для точек – с понятием базиса векторов. «Привязывая» векторный базис к фиксированной точке плоскости (началу координат), мы приходим к системе координат для точек. Если тот же векторный базис «привязать» к другому началу, мы получим другую систему координат для точек.

Векторы а(а) и в(а) коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

Каждой точке М плоскости поставим в соответствие вектор ОМ(а). Координаты вектора ОМ(а) называются координатами точки М в данной аффинной системе координат. При этом если ОМ(а) = (х, у), то пишут: М (х, у).

Пусть прямые, проведенные через точку М параллельно осям координат, пересекают оси координат соответственно в точках М₁ и М₂ (рис. 2). Тогда имеем

ОМ(а) = ОМ(а)₁ + ОМ(а)₂.

С другой стороны,

ОМ(а) = хе(а)₁+ уе(а)₂.

Следовательно,

х =ОМ(а)₁ / е(а), у = ОМ(а)₂ / е(а)₂.

Точки Е₁ и Е₂ имеют координаты: Е₁ (1; 0), Е₂ (0;1).

Если на плоскости даны две точки А (х₁, у₁) и В (х₂, у₂), то координаты вектора АВ(а) вычисляются так:

АВ(а) = ОВ(а) - ОА(а) = (х₂ - х₁, у₂ - у₁).

Пусть точка С делит отрезок АВ в данном отношении:

Тогда . Из правил действии над векторами в координатах следует, что координаты точки С определяются формулами:

,

В частности, если С – середина отрезка АВ, то

,

Рассмотрим различные способы задания прямой на плоскости.

Пусть требуется написать уравнение прямой l, заданной в некоторой аффинной системе координат точкой М₁ (х₁, у₁) и ненулевым вектором

, параллельным прямой l (рис. 3).

Вектор а(а) будет называться направляющим вектором прямой l .

Пусть М (х, у) – произвольная точка прямой l . Тогда, согласно условию, векторы

и а(а) коллинеарны тогда и только тогда, когда выполняется равенство , или

ОМ(а) = ОМ(а)₁ + tа(а),

где t – некоторое число (параметр). Это соотношение в координатах запишется так:

Полученные уравнения называют параметрическими уравнениями прямой.

При

и эти уравнения равносильны следующему уравнению первой степени:

Если прямая задана двумя различными точками: А (х₁, у₁) и В (х₂, у₂), то вектор АВ(а) = (х₂ - х₁, у₂ - у₁) является направляющим вектором прямой l. Следовательно, при х₁

х₂ и у1

у₂ получаем уравнение

,

которое называется уравнением прямой, проходящей через две точки.

В частности, если прямая l проходит через точки А (а, 0) и В (0, b), отличные от начала координат, то уравнение прямой принимает вид

Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках.

Исключая из параметрических уравнений прямой параметр t. При

получим уравнение:

у - у₁ = k (х - х₁),

где

. Число k называют угловым коэффициентом прямой. В частном случае, при х₁ = 0 и у₁ = b, уравнение принимает вид

Если же

, то прямая l параллельна оси Оy, а её уравнение запишется так:

х = х₁.

Таким образом, всякую прямую на плоскости можно задать уравнение первой степени Ах + Ву + С = 0, где хотя бы одно из чисел А и В отлично от нуля. Верно и обратное предложение: всякое уравнение первой степени Ах + Ву + С = 0 есть уравнение некоторой прямой в аффинной системе координат на плоскости.

При

уравнение Ах + Ву + С = 0 приводится к виду у = kх + b, где

,

Если же В = 0 и

, то оно принимает вид х = а, где .

1.5. Декартова система координат на плоскости. Прямая и окружность.

Определение. Декартовой (или ортонормированной, или прямоугольной) системой координат на плоскости называется такая аффинная система координат, базисные векторы которой ортонормированны, то есть имеют единичные длины и ортогональны (перпендикулярны). Обозначение R = {O, i(а), j(а)}; так что |i(а)| = |j(а)| = 1, i(а) перпендикулярен j(а).

При решении задач, в которых существенную роль играет понятие расстояния между двумя точками, применяется, декартова или прямоугольная система координат.

Пусть даны две точки: А (х₁, у₁) и В (х₂, у₂). Тогда, как известно,

.

Пользуясь формулой, запишем уравнение окружности с центром в точке С (a, b) и радиусом r:

.

Вышеизложенная теория прямой справедлива и для прямоугольной системы координат. В частности, при решении задач пользуются уравнением прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку А (х₁, у₁):

.

Отсюда следует, что угловой коэффициент прямой, заданной двумя точками А (х₁, у₁) и В (х₂, у₂), вычисляется по формуле

Угловой коэффициент в прямоугольной системе координат имеет следующий геометрический смысл: , где – величина угла от оси абсцисс до прямой l.

Пусть прямые l₁ и l₂ заданы своими уравнениями с угловыми коэффициентами: у = k₁х + b₁ и у = k₂х + b₂.

Если l₁ || l₂, то

, поэтому k₁ = k₂, и обратно, т.е. условие k₁ = k₂ выражает признак параллельности прямых l₁ и l₂.

Введем формулу для вычисления угла

между пересекающимися прямыми l₁ и l₂ (рис. 6).

Так как

и , , то