Алгебраические системы замыканий (стр. 8 из 8)

Для множества всех упорядоченностей верно лишь в том случае, когда множество A содержит один элемент. Иначе, не выполняется свойство антисимметричности.

Задача4. Показать, что совокупность всех алгебраических систем замыканий на данном множестве A является системой замыканий на B (A). Всегда ли эта система замыканий будет алгебраической?

Решение:

Очевидно, что множество всех алгебраических систем замыкания на данном множестве Aявляется системой замыкания на булеане B (A). Чтобы показать, является ли эта система алгебраической, воспользуемся теоремой 2.

Будем считать, что имеется семейство алгебр

, i

I. Каждой из них поставлена система подалгебр S( ). Пересечению соответствующих систем замыканий соответствует алгебра , при Ω= . Для произвольного подмножества X в A рассмотрим подалгебру алгебры . И возьмём элемент a из . Элемент a выражается через конечное множество элементов из с помощью последовательного применения конечного числа операций из Ω. Следовательно, a принадлежит замыканию .

Библиографический список

1. Кон П. Универсальная алгебра – М.: Мир, 1968. – 352 с.

2. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре – М.: Наука, 1973. – 400 с.

3. Курош А. Г. Курс высшей алгебры – СПб.: Лань, 2006. – 432 с.

4. Оре О. Теория графов – М.: Наука, 1968. – 336 с.

5. Общая алгебра. Т. 1 / под общ. ред. Л. А. Скорнякова – М.: Наука, 1990. – 592 с.

6. Постников М. М. Теория Галуа – М.: Издательство физико-математической литературы, 1963. – 220 с.

7. Риге Ж., Бинарные отношения, замыкания, соответствия Галуа // Кибернетический сборник / под ред. А. А. Ляпунова, О. Б. Лупанова. – вып. 7. – М.: Издательство иностранной литературы, 1963. – С. 129-185.