Идеал P кольца Rназовём простым, если для
Возьмем простой идеал P кольца R. Поставим ему в соответствие множество P* = {y
Возьмем мультипликативно замкнутое подмножество Y. Поставим ему в соответствие множество Y * = {x
Покажем выполнимость свойств.
Если P1
Возьмем подмножество P из множества простых идеалов R. Поставим ему в соответствие множество P* = R\P, а P* поставим в соответствие P** = R\(R\P) = P
Аналогично доказываются эти свойства для Y 1
Таким образом, построенное соответствие есть соответствие Галуа.
Пример 4.2: В кольце Aкаждому его подмножеству X отвечает (левый) аннулятор, состоящий из тех элементов a
AnnХ = {a
Для подмножества X множества A определим подмножество X* множества A равенством
X* = {a
и аналогично для любого идеала Iкольца A определим подмножество I* множества A равенством
I* = {x
Заметим, что в этом примере Ф = {(a, b)
Таким образом, построены отображения X
1) Пусть X1
2) Поставим множеству X в соответствие множество X* = AnnХ = I, а X* поставим в соответствие I* = AnnI = Ann(AnnХ). Если x
Аналогично получаем I
Таким образом, построенное соответствие есть соответствие Галуа.
Пример 4.3:В группе G каждому подмножеству A соответствует централизатор C, который состоит из всех элементов c, коммутирующих с каждым элементом a из A:
C = {c
Пример 4.4:В евклидовом пространстве V каждому подмножеству A множества V отвечает множество, состоящее из всех векторов, ортогональным векторам из A:
A
так что определена связь Галуа для подмножеств V. Здесь x
Последние два примера обосновываются аналогично примеру 4.2.
Чтобы установить связь соответствий Галуа с системами замыканий, заметим, что при любом соответствии Галуа отображение X
Чтобы иметь более непосредственное описание алгебраических систем замыканий, нам необходимо еще одно определение.
Определение 8. Непустая система D подмножеств множества A называется индуктивной, если каждая цепь в D обладает точной верхней гранью в D.