Алгебраические системы замыканий (стр. 4 из 8)

Справедливо и обратное утверждение:

ЕслиD– произвольнаяалгебраическаясистемазамыканийнамножествеA, тодляподходящегонабораалгебраическихопераций Ω исоответствующейструктуры

универсальнойалгебрынаA, имеемS(A) = D.

Для доказательства обозначим через (X) оператор замыкания для алгебраической системы замыканий D на множестве A. Зададим алгебраические операции на A следующим образом. Каждой n-ке a₁, …, a_n

A, где n

N, и произвольному элементу b ({a₁, …, a_n}) поставим в соответствие свою n-арную операцию ω, определенную следующим правилом:

ω(x₁, …, x_n) =

(4)

Это определяет структуру универсальной алгебры

на A, где для каждого натурального числа n операции из Ω заданы формулой (4). Таким образом определено бесконечно много алгебраических операций на множестве A, если Aбесконечно.

Пусть _Ω(X) =

– оператор замыкания, соответствующий системе S(A) подалгебр универсальной алгебры A. Проверим, что (X) = _Ω(X).

Пусть X

A и предположим сначала, что X конечно, то есть X = {c₁, …, c_m}. Тогда (X) _Ω(X) по определению (4) алгебраических операций ω.

C другой стороны, так как (X) = (X), то для любой n-ки a₁, …, a_n

(X) и для любой n-арной операции ω Ω ω(a₁, …, a_n) ({a₁, …, a_n}) (X) = (X). Поэтому (X) является подалгеброй алгебры и, значит, _Ω(X) (X).

Пусть теперь X – произвольное подмножество множества A, тогда, так как оба оператора замыкания (X) и _Ω(X) – алгебраические (первый по предположению, а второй в силу доказанного выше), имеем

(X) =

(X ') = _Ω(X ') = _Ω(X),

где X ' пробегает конечные подмножества множества X.

Итак, доказан следующий результат:

Теорема 2.СистемаS(A) подалгебруниверсальнойалгебрыAявляетсяалгебраическойсистемойзамыканий. Обратно, еслиданаалгебраическаясистемазамыканийDнамножествеA, тодляподходящегомножестваалгебраическихопераций Ω можноопределитьтакуюструктурууниверсальнойалгебрынаA, чтоS(A) = D.

Полученный выше результат можно использовать при построении оператора замыкания_Ω(X), соответствующего системе S(A) подалгебр универсальной алгебры A.

Отметим, что примеры 1 и 3 дают алгебраические системы замыканий, а система замкнутых множеств топологического пространства (пример 2), как правило, не алгебраическая.

§4. Соответствия Галуа

Соответствия Галуа могут определятся разными взаимосвязями, имеющимися между различными понятиями. Нам будет наиболее интересен тот факт, что соответствия Галуа являются одним из наиболее важных примеров систем замыканий.

Для начала сформулируем понятие соответствия Галуа.

Пусть M и M ' упорядоченные множества, в которых отношение порядка обозначаются одинаково

. И пусть указаны отображения
φ: M

M ' и ψ: M '

M, удовлетворяющие (для любых a, b M, a ', b ' M ') следующим требованиям:

a) если a

b, то aφ

bφ,

еслиa '

b ', тоa 'ψ b 'ψ,

b) aφψ

a, a 'ψφ

a '.

Тогда пара (φ, ψ) называется соответствиемГалуамеждуупорядоченнымимножествамиMиM '.

Данное определение наиболее общее и формальное.

Рассмотрим теперь более конкретное задание соответствия Галуа, переобозначив отображения φ и ψ одинаково – символом ^*. Но при этом будем иметь в виду, что эти отображения всё-таки разные.

Пусть A и B – некоторые множества и Ф – соответствие из A в B, то есть подмножество прямого произведения A

B. Для любого подмножества X множества A определим подмножество X^* множества B равенством

X^* = {y

B | (x, y) Ф для всех x X}

и аналогично для любого подмножества Y множества B определим подмножество Y^* множества A равенством

Y^* = {x

A | (x, y) Ф для всех y Y}.

Таким образом, имеем отображения

X

X^*, Y

Y^* (5)

множеств B (A), B (B) друг в друга, обладающие следующими свойствами:

если X₁

X₂, то X₁^*

X₂^*; (6)

если Y₁

Y₂, то Y₁^*

Y₂^*;

X

X^**, Y

Y^**; (7)

X^*** = X^*, Y^*** = Y^*. (8)

Условия (6) и (7) вытекают непосредственно из определений; если (6) применить к (7), получаем X^*

X^***, в то время как (7), примененное к X^*, дает обратное неравенство. Таким образом, любые отображения (5), удовлетворяющие (6) и (7), удовлетворяют также (8).

Пара отображений (5) между булеанами B (A) и B (B) с отношением включения

, или в более общем случае между любыми упорядоченными множествами, называется соответствием Галуа, если выполняются условия (6), (7) (и, следовательно, (8)).

Приведём наиболее интересные примеры соответствий Галуа.

Пример 4.1: Пусть R – коммутативное кольцо с единицей. Определим соответствие в R правилом x

y. Это соответствие устанавливает, в частности, соответствие Галуа между простыми идеалами кольца R и некоторыми мультипликативно замкнутыми подмножествами кольца R.