Алгебра октав (стр. 9 из 19)

§3.Действия над октавами

Так как по доказанному пара вида (и; v), где u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk

K, есть и u+ ve, или в алгебраической форме

a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,

то сложение двух октав осуществляется как сложение двух многочленов по правилу:

p+ q= (a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK) +(a₁+b₁i+c₁j+d₁k+ A₁e+B₁I+C₁J+D₁K) =

= a+a₁+(b+b₁)i +(c+c₁)j +(d+d₁)k +(A+ A₁)e +(B+B₁)I +(C+C₁)J +(D +D₁)K.

Умножение октав выполняется так; же, как умножение двух многочленов с учетом порядка, умножения мнимых единиц, представленного в вышеприведенной таблице.

Упражнения: 1. Приведите полное представление произведения двух октав

w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK

и w₁=a₁+b₁i+c₁j+d₁k+ A₁e+B₁I+C₁J+D₁K

валгебраическойформе.

(a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK)( a₁+b₁i+c₁j+d₁k+ A₁e+B₁I+C₁J+D₁K)=a a₁+ab₁ i+ ac₁j+ad₁k+aA₁E+aB₁I+aC₁J+aD₁K+bia₁+bib₁i+bic₁j+bid₁k+diA₁E+biB₁I+biC₁J+

biD₁K+cja₁+cjb₁i+cjc₁j+cjd₁k+cjA₁E+cjB₁I+cjC₁J+cjD₁K+dka₁+dkb₁i+dkc₁j+dkd₁k+dkA₁E+dkB₁I+dkC₁J+dkD₁K+AEa₁+AEb₁i+AEc₁j+AEd₁k+AEA₁E+AEB₁I+AEC₁J+AED₁K+ BIa₁+BIc₁j+BId₁k+BIA₁E+BIB₁I+BIC₁J+BID₁K+CJa₁+Cjb₁i+CJc₁j

+CJd₁k+CJA₁E+CJB₁I+CJC₁J+CJD₁K+Dka₁+DKb₁i+DKc₁j+DKd₁k+DKA₁E+DKB₁I+DKC₁J+DKD₁K=aa₁+ab₁i+ac₁j+ad₁k+aA₁E+aB₁I+aC₁J+aD₁K+bia₁-bb₁+bc₁k-bd₁j-bA₁I+bB₁E+bC₁K+bD₁J+cja₁-cb₁k-cc₁+cd₁i-cA₁J+cB₁K-Cc₁E +cD₁I+dka₁+db₁j-c₁di-dd₁+dA₁K-dB₁J+dC₁I-dD₁E+AEa₁-Ab₁I-Ac₁J-Ad₁K-AA₁+Ab₁i+AC₁j+AD₁k+Bia₁+Bb₁E-Bc₁K+Bd₁J-Ba₁i-BB₁-BC₁k+BD₁j+CJa₁+Cb₁K-Cc₁E-Cd₁I-CA₁j+CB₁k-CC₁-CD₁i+DK₁a-Db₁J-Dc₁I+Dd₁E-DA₁k-DB₁j+DC₁i-DD₁=aa₁-bb₁-cc₁-dd₁-AA₁-BB₁-CC₁-DD₁+i(ab₁+ba₁+cd₁-dc₁+AB₁-BA₁-_-cD₁+Dc₁)+j(ac₁-bd₁+ca₁+db₁+AC₁+BD₁-CA₁-DB₁)+k(ad₁+bc₁-cb₁+da₁+AD₁-BC₁+CB₁-Da₁)+E(aA₁-bB₁-cC₁-dD₁+Aa₁+Bb₁+Cc+Dd₁)+I(aB₁+bA₁-Cd₁+dC₁-Ab₁+Ba₁-Cd₁-Dc₁)+J(ac₁+bD₁+cA₁-dB₁-Ac₁+Bd₁+Ca₁-Db₁)+K(aD₁-bC₁+cB₁+Da₁-Ad₁-Bc₁+ Cb₁ +Da₁).

Этот результат можно записать в матричной форме:

Решение примеров:

Пример 1.

Сложить кватернионы:

(1+i-2j+15E-17J)+(-2+5j-17E+20K)= -1+i+3j-2E-17J+20K.

Пример 2.

Выполнитьумножение:

(1+3K)(2-i+3j+2E+2K)=2-i+3j+2E+2K+6K-3Ki+9Kj+6KE-6=2-i+3j+2E+8K+3J-9I+6K-6=-4-i+2E-9I+14K.

Пример 3.

Решить уравнение:

(1-2i+4K)x=(2-3j+J)(3-5k+E)-5J+8k.

В правой части приведем подобные слагаемые.

(2-3j+J)(3-5k+E)-5J+8k=6-10k+2E-9j+15jk-3jE+3J-5Jk+JE-5J+8k=6-10k+2E-9j+15i-3J+3J-5I-j-5J+8k=6+15i-10j-2k+2E-5I-5J.

x=(1-2i+4K )^-1(6+15i-10j-2k+2E-5I-5J);

x=((1+2i-4K )(6+15i-10j-2k+2E-5I-5J))/21=1/21(6+15i-10j-2k+2E-5I-5J+12i-30-20k+4j-4I-10E-10K-24K-60J-40I-8E-8K+20J-20I)=1/21(-24+27i-6j-22k-16E-69I-45J-442K)

§4. Сопряженные октавы и их свойства

Определение. Если дана октава

w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,

то октава

= a-bi-cj-dk- Ae-BI-CJ-DK

называется сопряженным ему. В случае, когда октава w выражена через кватернионы и и v как u+ ve, то сопряженная ей октава равна

= ū- ve.

Свойства сопряженных октав:

1) р +

= 2а

R (выводится непосредственным сложением октавы

р=a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK

ссопряженнойейоктавой).

(a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK)+ (a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK)=2a.

2)w

w = a² + b² + c² + d² + A² + B² + C² + D².

Всамомделе:

=(u+ ve)(ū- ve) = (uū –(-

)v)+(-vu+vu)e = (uū+

)+(-vu+vu)e =(|u|² + |v|²) + 0e = |u|² + |v|².

Здесь и и vкватернионы

u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk.

А так как

|u|² = a² + b² + c² + d², |v|² = A² + B² + C² + D²,

тоw

=|u|² + |v|²= a² + b² + c² + d² + A² + B² + C² + D².

Аналогично доказывается равенство

w = a² + b² + c² + d² + A² + B² + C² + D².

3) w=

w= а

(вычисление левой и правой частей равенства дает

одинаковые значения).

В самом деле:

w₁₊ w = (a+bi+cj+dk+( Ae+BI+CJ+DK))+ (a₁+b₁i+c₁j+d₁k+ A₁e+B₁I+C₁J+D₁K);

леваячасть:

=(a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK)+(a₁-b₁i-c₁j-d₁k- A₁e-B₁I-C₁J-D₁K);

праваячасть:

= (a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK);

=( a₁-b₁i-c₁j-d₁k- A₁e-B₁I-C₁J-D₁K);

=(a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK)+(a₁-b₁i-c₁j-d₁k-A₁e-B₁I-C₁J-D₁K).

Отсюда следует, что

Пусть

w = u+ ve, w₁= u₁+ v₁e,

где u, u₁v, v₁- кватернионы.

Так как

w₁= (u+ ve) ( u₁+ v₁e) = (uu₁-

v) + (v₁u+vū₁)e,

то

+ (v₁u+vū₁)e= (ū₁ū -

v) - (v₁u+vū₁)e.

С другой стороны:

= (ū₁ - v₁e) (ū - ve) = (ū₁ ū -(-

(-v₁))+(- vū₁-v₁

) = (ū₁ū -

v₁) - (vū₁+v₁u)e.

В силу совпадения правых частей полученных равенств и следует тождество 5.

6) w

+w₁

=2 (aa₁+bb₁+cc₁+dd₁+A A₁+BB₁+CC₁ +DD₁)