Алгебра октав (стр. 8 из 19)

e i = (0; 1)(i; 0) = (0

i –

1; 0

0; + 1

ī) = (0; - i) = - (0; i) = -I;

e j = (0; 1)(j; 0) = (0

j –

1; 0

0; + 1

) = (0; -j) = - (0; j) = -J;

e k = (0; 1)(k; 0) = (0

k –

1; 0

0; + 1

) = (0; -k) = - (0; k) = - K;

I e = (0; i)(0; 1) = (0

0 –

i; 1

0; + i

) = (-i; 0) = - (i; 0) = - i;

J e = (0; j) (0; 1) = (0

0 –

j; 1

0; + j

) = (- j; 0) = - (j; 0) = - j;

K e = (0; k) (0; 1) = (0

0 –

k; 1

0; + k

) = (- k; 0) = - (k; 0) = - k;

e I = (0; 1)(0; i) = (0

0 –ī

1; i

0; + 1

) = (i; 0) = i;

e J = (0; 1)(0; j) = (0

0 –

1; j

0; + 1

) = (j; 0) = j;

e K = (0; 1)(0; k) = (0

0 –

1; k

0; + 1

) = (k; 0) = k;

I J = (0; i)(0; j) = (0

0 –

i; j

0 + i

) = (- k; 0) = - (k; 0) = - k;

I K = (0; i)(0; k) = (0

0 –

i; k

0 + i

) = (j; 0) = j;

J K = (0; j)(0; k) = (0

0 –

j; k

0 + j

) = (- i; 0) = - (i; 0) = - i;

J I = (0; j)(0; i) = (0

0 –ī

j; i

0 + j

) = (k; 0) = k;

K I = (0; k)(0; i) = (0

0 –ī

k ; i

0+ k

) = (- j; 0) = - (j; 0) = - j;

KJ = (0; k)(0; j) = (0

0 –

k; j

0 + k

) = (i; 0) = i.

При умножении на мнимые единицы кватернионов образуются дополнительно три несоставных мнимых единицы. Правило произведения мнимых единиц (1,i,j,k,E,I,J,K) может быть представлено таблицей 1.

При пользовании этой таблицей первым сомножителем следует брать элемент, занимающий строку, а вторым сомножителем - элемент, занимающий столбец.

1	i	j	k	E	I	J	K
1	1	i	j	k	E	I	J	K
i	i	-1	-k	-j	-I	E	K	-J
j	j	k	-1	i	-J	-K	E	I
k	k	-j	-i	-1	-K	J	-I	E
E	E	I	J	K	-1	-i	-j	-k
I	I	-E	K	-J	i	-1	k	-j
J	J	-K	-E	I	j	-k	-1	i
K	K	J	-I	-E	k	j	-i	-1

Или диаграммой взаимных произведений:

При получении вышеприведенной таблицы произведений мы исходили из правого закона произведения мнимых единиц кватернионов (внутренний круг диаграммы), правого закона произведения новых единиц (внешний круг диаграммы) и правого закона произведения мнимых единиц исходных кватернионов на мнимую единицу E (радиальные линии диаграммы). Так же можно использовать определение октав с левыми правилами произведения. В дальнейшем мы будем полагать, что используются правые правила.