Алгебра октав (стр. 7 из 19)
§2. Дополнительные сведения об октавах
В ходе доказательства непротиворечивости системы аксиом алгебры октав мы установили, что любую октаву можно представить в виде:
w = a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,
где a,b,c,d, a,b,c,d
R иi2 = j2 = k2 = e2=I2= j2 = k2 = -1,причем iе = I, je = J, ke = К по обозначению.
Через пары эти мнимые единицы выражались следующим образом:
i=(i; 0), j=(j; 0), k=(k; 0), e=(0; 1), I=(0; i), j=(0; j), k=(0; k).
Вычислим другие произведения мнимых единиц:
iI = (i; 0)(0; i) = (i 
0 – ī 0; i i + 0
) = (0; -1) = -(0; 1) = - e;iJ = (i; 0)(0; j) = (i 0 –
0; j i + 0 ) = (0; -k) = -(0; k) = - K;iK = (i; 0)(0; k) = (i 0 –
0; k i + 0 ) = (0; j) = J;I i = (0; i)(i; 0) = (0 i –
i; 0 0; + i ī) = (0; 1) = e;J i = (0; j)(i; 0) = (0 i –
j; 0 0; + j ī) = (0; k) = K;K i = (0; k)(i; 0) = (0 i –
k; 0 0; + k ī) = (0; -j) = - (0; j) = -J;jI = (j; 0)(0; i) = (j 0 – ī 0; i j + 0
) = (0; k) = K;jJ = (j; 0)(0; j) = (j 0 –
0; j j + 0 ) = (0; -1) = -(0; 1) = - e;jK = (j; 0)(0; k) = (j 0 –
0; k j + 0 ) = (0; - i) = - (0; i) = -I;I j = (0; i)(j; 0) = (0 j –
i; 0 0 + i ) = (0; -k) = -(0; k) = - K;J j = (0; j)(j; 0) = (0 j –
j; 0 0; + j ) = (0; 1) = e;K j = (0; k)(j; 0) = (0 j –
k; 0 0; + k ) = (0; i) = I;kI = (k; 0)(0; i) = (k 0 – ī 0; i k + 0
) = (0; -j) = - (0; j) = -J;kJ = (k; 0)(0; j) = (k 0 –
0; j k + 0 ) = (0; i) = I;kK = (k; 0)(0; k) = (k 0 –
0; k k + 0 ) = (0; -1) = - (0; 1) = - e;I k = (0; i)(k; 0) = (0 k –
i; 0 0; + i ) = (0; j) = J;J k = (0; j)(k; 0) = (0 k –
j; 0 0; + j ) = (0; - i) = - (0; i) = -I;K k = (0; k)(k; 0) = (0 k –
k; 0 0; + k ) = (0; 1) = e;