Алгебра октав (стр. 6 из 19)
откуда следует, что ie, je, keотличны друг от друга и от предыдущих мнимых единид i, j, k, e.
Покажем, что (ie)2 = (je)2 = (ke)2 = -1. Действительно,
(ie)2 = (i; 0) (i; 0) = (i 
i -
0; 0 i + 0 ī) = (-1; 0) = -1;(je)2 = (j; 0) (j; 0) = (j 
j -
0; 0 j + 0 ī) = (-1; 0) = -1;(ke)2 = (k; 0) (k; 0) = (k k -
0; 0 k + 0 ī) = (-1; 0) = -1.Следовательно, ie, je, keможно выбрать в качестве новых мнимых единиц, обозначив их соответственно iе = I, je = J. ke = К и октаву w записать в виде
w = a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,
гдеa,b,c,d, a,b,c,d
R.Эту форму записи октавы назовем алгебраической формой. Обозначим КхK=U и назовем U алгеброй октав.
1.2 Категоричность системы аксиом алгебры октав
Теорема 2. Система аксиом алгебры октав категорична.
Пусть (U, +, ., e) и (U1,
, 
, e1 ) - две модели алгебры октав и e2 = -1, e21 = Ө1.Рассмотрим отображение Ф : U → Uтакое, что
Ф (u+ve) = u
v e1, u,v К.Покажем, что Ф - гомоморфное отображение первой модели на вторую модель.
Пусть w1 = u1+v1e и w2 = u2+v2e. Тогда:
Ф(w1+ w2) = Ф((u1+v1e) + (u2+v2e)) = Ф((u1+u2)+(v1+v2)e) = (u1+u2)
(v1+v2) e1 = (u1 v1 e1 ) (u2 v2 e1) = Ф(u1+v1e) Ф(u2+v2e) = Ф(w1) Ф(w2);Ф(w1 w2) = Ф((u1+v1e) (u2+v2e)) = Ф((u1u2 -
2v1)+(v2u1 + v1ū2)e) = (u1u2 - 2v1) (v2u1 + v1 ū2) e) =(u1 u2 Ө 2 v1) (v2u1 v1 ū2) e) =(u1 v1 e1) ( u2 v2 e1) = Ф(u1+v1e) Ф(u2+v2e) = Ф(w1) Ф(w2);Ф(-w) = Ф (-(u+ve)) = Ф (-u -ve) = ӨuӨv
e1 = Ө(u v e1) = ӨФ(u+ve)= ӨФ(w);Ф(w-1)=Ф((u+ve)-1)=Ф(
Ө 
e)= ( Ө e) = 
Ө 
e = (u v e1)-1 = (Ф(u+ve)Ө1) = (Ф(w)) Ө1.Следовательно, отображение Ф есть гомоморфное отображение алгебры
в (U1, , , e1 ).Покажем, что отображение Ф инъективно:
Ф(w1)=Ф(w2)
Ф(u1+v1e) = Ф(u2+v2e) u1 v1 e1 = u2 v2 e1 u1=u2 
v1=v2 
u1+v1e= u2+v2e w1= w2.Сюръективность отображения Ф очевидна, так как
(
q U1) ( 
u,v K)p= u v e1 ( u+ve = w U) Ф(w) = p.Итак, отображение Ф есть изоморфизм алгебры
на алгебру (U1, , ,e1) и, следовательно, система аксиом алгебры октав категорична ввиду изоморфности произвольных ее моделей.