Алгебра октав (стр. 4 из 19)

(х; у)

(u; v) = (u; v),

в котором опять и и v одновременно не считаем равными 0, так как (0; 0) = 0_Uи это уравнение будет иметь любое решение. Пусть опять u ≠ 0. Тогда:

(х; у)

(и; v) = (и: v)

(хи - y; vх - уū) = (и; v)

Умножим обе части первого уравнения этой системы справа на u^-1=

, откуда:

x(u

u^-1) =

y + u*u^-1 x = 1+ ₂ yū,

Подставим полученное значение х во второе уравнение системы:

v(1+

₂ yū) + уū= v v + ₂v yū + уū= v yū+ уū= 0 ( + 1)уū =0,

откуда при u≠ 0 следует, что у = 0 и из первого уравнения системы хu= и следует, что х = 1. Итак, пара (х; у) = (1; 0) является и левым единичным элементом в

. Обозначим (1; 0) = 1_U,

11) Для определения правого симметричного для (u; v) элемента решим уравнение:

(u; v)

(х: у) = (1; 0)

(их - v; уи+ v ) = (1; 0)

Умножим обе части первого уравнения этой системы слева на u^-1=

₂, откуда:

(u^-1

u) x = u^-1

v + u^-1 x = ₂+ ₂ v = ₂ + ₂ yu.

Подставим полученное значение

во второе уравнение системы:

v

+ + уи= 0 ₂ + ₂v yu + уи= 0 (|u|² + |v|²) yu = - vu (|u|² + |v|²) y = - v,

откуда

у = -

.

Тогда из второго уравнения системы

v

- u =0 v

- =0 = x= .

Итак, пара

(x; y) =

; -

является правым обратным элементом для элемента (u; v) в

.

Для определения левого симметричного элемента для элемента (u; v) относительно операции умножения в

решим уравнение:

(х; у)

(u; v) = (1; 0),

в котором опять и и v одновременно не считаем равными 0. Пусть опять и ≠ 0. Тогда:

(х; у)

(u; v) = (1; 0)

(xu - y; vx + yū) = (1; 0)

Умножим обе части первого уравнения этой системы справа на u^-1=

₂ откуда:

x

(u u^-1) = y ₂ + ₂ x = ₂ ( yū + ū).

Подставим полученное значение х во второе уравнение системы:

v

₂( yū + + ū) + yū = 0 (|u|² + |v|²) yū = - vū

откуда при ū ≠ 0 следует, что у = -

. и, подставив это значение у в первое уравнение системы, получаем

xu -

= 1,

откуда следует, что

xu= 1 -

= .

Умножим это равенство справа на u^-1=

, тогда

x =

* =