Алгебра октав (стр. 3 из 19)

v₁ (

) + (v₂ u₂ + v₂ ū₂) u₁) = (u₁u₂ u₂ - u_{1 2}v₂ – v₁ – u_{2 2}v₁;

v₁

- v_{1 2}v₂ + v₂ u₂ u₁+ v₂ ū₂ u₁) = (u₁ u₂ u₂ - (u₂ + ū₂) ₂v₁ – u₁|v₂|²; (u₂ + ū₂)v₂u₁ + v₁ - v₁|v₂|²).

Здесь следует учитывать, что

₂v₂ =v_{2 2} = |v₂|² и u₂ + ū₂ - действительные числа. Сравнивая правые части полученных равенств, убеждаемся, что они совпадают с точностью до порядка слагаемых. Следовательно, равенство 8) справедливо.

9) Покажем, что имеет место равенство

(u₂; v₂)

((u₂; v₂)

(u₁; v₁)) = ((u₂; v₂)

(u₂; v₂))

(u₁; v₁).

Преобразовав левую сторону этого равенства, получаем:

(u₂; v₂)

((u₂; v₂)

(u₁; v₁)) = (u₂; v₂)

(u₂u₁ -

₁v₂; v₁ u₂ + v₂ ū₁) = (u₂(u₁ u₂ - ₂v₁) – v₂;

(v₁ u₂ - v₂ ū₁) u₂ + v₂

) = (u₂u₁ u₂ - u_{2 1}v₂ – v₂ - u_{1 2}v₂; v₁u₂u₂ + v₂ ū₁ u₂ + v₂ - v_{2 2}v₁) = (u₂u₁ u₂ - u₁ |v₂|² - (u₂ + ū₂) ₁v₂; v₁u₂u₂ + v₂ ū₁(u₂ + ū₂)- |v₂|² v₁).

Преобразовав правую сторону этого равенства, получаем:

((u₂; v₂)

(u₂; v₂))

(u₁; v₁) = (u₂ u₂ -

₂v₂; v₂ u₂ + v₂ ū₂)

(u₁; v₁) = ((u₂ u₂ - ₂v₂) u₁ - ₁(v₂ u₂ + v₂ ū₂);

v₁(u₂ u₂ -

₂v₂) + (v₂ u₂ + v₂ ū₂) ū₁) = (u₂ u₂ u₁- ₂v₂ u₁ - ₁v₂ u₂ - ₁v₂ ū₂; v₁u₂ u₂ - v_{1 2}v₂ + v₂ u₂ ū₁ + v2

) = u₂ u₂ u₁ - ₁v₂(u₂ + ū₂) - |v₂|²u₁; v₁u₂ u₂ - v₁ |v₂|²+ v₂ ū₁ (u₂+ ū₂).

Сравнивая правые части полученных равенств, убеждаемся, что они совпадают с точностью до порядка слагаемых. Следовательно, равенство 9 справедливо.

Из равенств 8) и 9) следует, что умножение в

альтернативно.

10) Для определения правого нейтрального элемента (единицы) относительно операции умножения в

решим уравнение:

(u; v)

(x; y) = (u; v),

в котором и и v одновременно не равны 0, так как (0; 0) = 0_и и это уравнение будет иметь любое решение. Пусть u≠ 0. Тогда:

(u; v)

(х; у) = (u; v)

(хu - y; уи + v ) = (и; v)

Умножим обе части первого уравнения этой системы слева на u^-1=

,откуда:

(u^-1

u) x = u^-1

v+ u^-1u x = v =1+ уи.

Подставим полученное значение

во второе уравнение системы:

v(1+

уи) + уи = v v+ v уи+ уи = v уи+уи=0 ( +1)уи=0,

откуда при u ≠ 0 следует, что у = 0. Тогда

= 0 и из первого уравнения системы

их = и следует, что х = 1. Итак, пара (х; у) = (1; 0) является правым единичным элементом в

.

В случае, если и = 0, v ≠ 0, второе уравнение .системы имеет вид v

= v, откуда сразу х = 1, а из первого уравнения системы у = 0, т.е. приходим к тому же решению.

Для определения левого нейтрального элемента (единицы) относиnельно операции умножения в

решим уравнение: