Алгебра октав (стр. 2 из 19)

Действительно, с одной стороны:

(u₃; v₃)

((u₁; v₁) + (u₂;v₂)) = (u₃; v₃) v(u₂+ u₁ ; v₁+ v₂) = (u₃ (u₁+u₂); (

)v₃;

(v₁+ v₂)u₃+ v₃(

))= (u₃u₁ +u₃u₂ -

₁v₃ -

₂v₃; v₁ u₃+u₂ u₃+ v₃ū₁+ v₃ū₂);

сдругойстороны:

(u₃; v₃)

(u₁; v₁) +(u₃; v₃) (u₂; v₂) = (u₃u₁ -

₁v₃;v₁ u₃+ v₃ū₁)+ (u₃u₂ -

₂v₃;v₂ u₃+ v₃ū₂)= (u₃u₁ -

₁v₁+u₃u₂-

₂v₃; v₁ u₃+ v₃ū₁ +v₂ u₃+ v₃ū₂).

Сопоставляя правые части полученных равенств, замечаем, что они равны. Следовательно, умножение в

дистрибутивно слева относительно сложения .

6) Покажем, что умножение в

не ассоциативно.

Действительно, с одной стороны:

((u₁; v₁)

(u₂; v₂)) (u₃; v₃) = (u₁u₂ -

₂v₁; v₂u₁+ v₁ū₂) (u₃; v₃) = ((u₁u₂ -

₂v₁)u₃-

₃(v₂u₁+ v₁ū₂);

v₃(u₁u₂ -

₂v₁)- (v₂u₁+ v₁ū₂) ū₃) = (u₁u₂u₃ -

₂v₁u₃-

₃v₂u₁-

₃v₁ū₂; v₃u₁u₂ - v₃

₂v₁- v₂u₁ ū₃- v₁ū₂ ū₃).

С другой стороны:

(u₁; v₁)

((u₂; v₂) (u₃; v₃)) = (u₁; v₁) (u₂u₃ -

₃v₂; v₃u₂+ v₂ū₃) = (u₁ (u₂u₃ -

₃v₂) –

v₁;

v₁

+ (v₃u₂+ v₂ū₃) u₁) = (u₁u₂u₃ - u₁

₃v₂ –

v₁- u₃

₂v₁; v₁

- v₁

₂v₃ + v₃u₂ u₁+ v₂ū₃ u₁).

Из сопоставления правых частей этих равенств следует, что

((u₁; v₁)

(u₂; v₂)) (u₃; v₃) ≠ (u₁; v₁) ((u₂; v₂) (u₃; v₃))

т.е. умножение в

не ассоциативно.

7) Рассмотрим произведения:

(u₁;v₁)

(u₂;v₂) = (u₁u₂-

₂v₁; v₂u₁ + v₁ ū₂);

(u₂;v₂)

(u₁;v₁) =(u₂u₁-

₁v₂; v₁ u₂ + v₂ ū₁).

Сравнивая правые части этих равенств, убеждаемся, что

(u₁;v₁)

(u₂;v₂) ≠ (u₂;v₂) (u₁;v₁)

т.е. умножение в

не коммутативно.

8) Покажем, что имеет место равенство

((u₁; v₁)

(u₂; v₂)) (u₂; v₂) = (u₁; v₁) ((u₂; v₂) (u₂; v₂))

Преобразовав левую сторону этого равенства, получаем:

((u₁; v₁)

(u₂; v₂)) (u₂; v₂) = (u₁u₂ -

₂v₁; v₂ u₁+ v₁ū₂) (u₂; v₂) = ((u₁u₂ -

₂v₁)u₂-

₂(v₂ u₁+ v₁ū₂);

v₂(u₁u₂ -

₂v₁)- (v₂ u₁+ v₁ū₂) ū₂) = (u₁u₂ u₂ -

₂v₁u₂-

₂v₂ u₁-

₂v₁ū₂; v₂u₁u₂ - v₂

₂v₁- v₂ u₁ ū₂- v₁) = (u₁u₂ u₂ -

₂v₁(u_{2 +} ū₂)– |v₂|² u₁; v₂u₁(u₂ + ū₂)- v₁- |v₂|²v₁) .

Преобразовав правую сторону этого равенства, получаем:

(u₁; v₁)

((u₂; v₂) (u₂; v₂)) = (u₁; v₁) (u₂u₂ -

₂v₂; v₂ u₂+ v₂ū₂) = (u₁(u₂u₂ -

₂v₂) –(

)v₁;