Алгебра октав (стр. 19 из 19)
4) (a, b1 + b2) = (a, b1) + (a, b2)
следует из определения скалярного произведения и первого равенства (16).
Из (а, а) = |а|2 
1 следует, что
= |а|, т.е. норма элемента a 
А совпадает с модулем а как комплексного числа, так и кватерниона.Так как любые два элемента а и b из алгебры
принадлежат одной комплексной или одной кватернионной подалгебре, то|ab|2 = |a|2 |b|2
(ab, ab) = (a, a)(b, b).Следовательно, все свойства скалярного произведения для (а, b) выполняются. Отсюда следует, что алгебра
есть нормированная линейная алгебра.Обобщенная теорема Фробениуса. Любая альтернативная линейная алгебра над полем действительных чисел с делением и единицей изоморфна одной из четырех алгебр: полю действительных чисел, полю комплесных чисел, телу кватернионов или алгебре октав.
Так как по доказанному в предыдущей теореме альтернативная линейная алгебра над полем действительных чисел с делением и единицей является нормированной линейной алгеброй, а последняя по теореме Гурвица изоморфна либо полю действительных чисел, либо полю комплексных чисел, либо телу кватернионов, либо алгебре октав, то отсюда следует утверждение теоремы.
Список литературы
1. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Математический анализ в задачах и упражнениях (числовые и функциональные ряды). М.: Факториал, 1996, 477с.
2. Власова Е.А. Ряды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2002, 608с.
3. Воробьев Н.Н. Теория рядов: Учебное пособие для втузов. М.: Наука, 1986, 408с.
4. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы высшей математики. М.: Наука, 1986, 364с.
5. Зайцев В.В., Рыжов В.В., Сканави М.И. Элементарная математика. М.: Наука, 1984, 400с.
6. Никольский С.М. курс математического анализа: Учеб. для вузов: В 2 т. Т.1. М.: Наука, 1990, 528с.; Т.2. М.: Наука, 1991, 544с.
7. Шмелев П.А. Теория рядов в задачах и упражнениях. М.: Высш.шк., 1983, 176с.