Алгебра октав (стр. 18 из 19)

Если, в свою очередь, подалгебра

,где С = D+ De, не совпадает со всей алгеброй ,то опять-таки найдется единичный вектор е^/ С. Составим подалгебру изоморфную удвоению , а следовательно, и изоморфную телу кватернионов. Назовем ее кватернионной подалгеброй алгебры . Из вышесказанного о сопряжении в алгебре следует, что для элементов из С+Се^/ сопряжение с впадает с обычным сопряжением в теле кватернионов.

Если, в свою очередь, подалгебра

, где К = C+Ce', не совпадает со всей алгеброй , то снова найдется единичный вектор е" K. Составим подалгебру изоморфную удвоению , а следовательно, и изоморфную алгебре октав.

Но эта подалгебра

, где U= К + Ке^// совпадает уже c самой алгеброй ,так как по теореме 3 любая подалгебра алгебры , содержащая 1 и не совпадающая со всей алгеброй , ассоциативна. А так как умножение октав не ассоциативно, а в ее подалгебре (теле кватернионов) оно ассоциативно, то подалгебра совпадает со всей алгеброй .

Резюмируя вышеизложенное, мы получаем, что если алгебра

не изоморфна ни одной из алгебр , или , то она изоморфна алгебре октав ,что и доказывает утверждение теоремы Гурвица.

§7. Обобщенная теорема Фробениуса

Теорема. Любая альтернативная линейная алгебра над полем действительных чисел с делением является нормированной линейной алгеброй.

Пусть

- альтернативная линейная алгнбра с делением над полем действительных чисел R. Введем в Aоперацию сопряжения следующим образом: если элемент а Aпропорционален 1, то ā = а; если же а не пропорционален 1. то он содержится в комплексной подалгебре . В этой подалгебре для элемента а имеется сопряженный элемент ā, который и примем за элемент, сопряженный к а в алгебре .

Из определения ā непосредственно следует, что

= а, а также =kā, где k R.

Пусть а

Aне пропорционален 1. Рассмотрим кватернионную подалгебру (K, +, ._R, .), содержащую а. В этой подалгебре для а Aтоже имеется сопряженный элемент ā. Покажем, что а совпадает с ā.

Элементы а и ā, как сопряженные в комплексной алгебре, удовлетворяют условиям:

а+ā = 2а* 1, где а

R, (14)

а* ā = d*1, где d

R. (15)

Элементы а и ā, как сопряженные в кватернионной алгебре, удовлетворяют условиям:

а+ ã = 2а₁* 1, где а₁

R, (14')

а * ã = d₁ *1, где d₁

R. (15^/)

Вычтем из (14) и (15) соответственно (14^/) и (15'). Тогда:

ā - ã = 2(a – a₁)*1.

а (ā - ã) = (d- d₁)* 1

2(a – a₁)a*1.= (d- d₁)* 1.

Если

a(ā - ã), то a =

*1,

т.е. а пропорционален 1, что противоречит предположению.

Отсюда следует, что элемент, сопряженный к а, один и тот же, независимо от того, рассматриваем ли мы а как элемент комплексной подалгебры или же как элемент кватернионной подалгебры алгебры

.

Точно так же |а|² = аā как в случае комплексной подалгебры,так и в случае кватернионной подалгебры алгебры

, так , что модуль элемента а A не зависит от того, рассматриваем мы его как элемент комплексной или кватернионной подалгебры алгебры .

Тогда для любых a, b

А справедливы равенства:

=ā+ и = ā * . (16)

Если а и b принадлежат одной комплексной подалгебре алгебры

, то равенства (16) есть свойства, сопряжения в этой подалгебре. Если же они принадлежат разным комплексным подалгебрам, то они будут верны как свойства сопряжения в кватернионной подалгебре алгебры .

Из

= b и из второго равенства (16) вытекает, что = bā, откуда

a

+ bā = с* 1, где с R.

Определим в (A, +, ._R, .) скалярное произведение (а, b) как

a

+ bā = 2(а, b) * 1.

Покажем, что (а, b) удовлетворяет всем свойствам скалярного произведения:

1) (а, а) > 0 при а ≠ 0 и (0, 0) = 0.

В самом деле,

(а, а) * 1 =

(аā + аā) = аā = |а|* 1,

а модуль комплексного числа, так же как модуль кватерниона, сторого положителен при а ≠ 0 и равен 0 при а = 0.

2) (a, b) = (b. а), таккак

a

+ bā = 2(a, b)* 1, bā + a = 2(b, a)* 1,

но

a

+ bā = bā + a , тогда (a, b) = (b, a).

3) (a, kb) = k(a, b) приk

R.

Действительно,

(a, kb) =

(a( ) + kbā) = (a(k ) + kbā) = k

(a + bā) = k(a, b).