Алгебра октав (стр. 17 из 19)

u(ve) + (-ve)ū = 0

u(ve) = (ve)ū.

Воспользовавшись равенством (9), получаем, что (ve)ū = (vu)e. Тогда:

u(ve) = (vu)e.

Лемма 7.Для любых u, v

А имеет место

(ue)(ve) = -

u. (11)

Прежде всего убедимся, что если формула (11) верна при v= с и при v = d, то она имеет место и при v= c + d. Действительно, если

(uе)(се) = -

u и (ue)(de) = - u, то

ue((c + d)e) = (ue)(ce + de) = (ue)(ce) + (ue)(de) = -

u - u = - ( + )u.

Так как для любого v

В имеет место v = k1+ v^/, где v^/ 1, то докажем равенство (11) по отдельности для k1 для v^/. Тогда на основании сделанного выше замечания, равенство (11) будет справедливо и для v.

Итак, пусть v= k1, откуда (11) принимает вид:

k(ue)e == -ku

(ue)e = -u -(ue) = -(e, e)u (uе) =u,

которое верно в силу равенства (5), если учесть, что

= -е и (е, е) = 1.

Пусть теперь v

l. Тогда = -v. Полагая в том же равенстве (8) а = u, х = е, у = -ve, получаем:

(ue)(ve) + (u(-ve))

= 2(е, - ve)u (ue)(ve) - (u(ve)) = -2(е, ve)u. (12)

Но (е, ve) в силу тождества (3) равно (1, v)(e, e) = 0, так как по условию v

1. В ситу (10) второе слагаемое в последнем равенстве (12) равно

-(u(ve))

= -((vu)e) = -vu= u (ue)(ve) = - u.

Теорема 2. Для любых u₁ +u₂e

В+Be и v₁ + v₂e В+Be имеет место равенство:

(u₁ + u₂e)(v₁ + v₂e) = (u₁v₁ –

₂u₂) + (v₂u₁ + u_{2 1})e. (13) (13)

Воспользовавшисьравенствами (9), (10) и (11), получаем:

(u₁ + u₂e)(v₁+ v₂e) = u₁v₁ + (u₂e)v₁ + u₁(v₂e) + (u₂e)(v₂e) = u₁v₁ + (u₂

₁)e + (v₂u₁)e - ₂u₂ = (u₁v₁ - ₂u₂) + (v₂u₂ + u_{2 1})e.

Теорема З. Любая подалгебра алгебры

,содержащая единицу и не совпадающая со всей алгеброй ,ассоциативна, т.е. для любых u, v, w А имеет место (uv)w = u(vw).

Снова воспользуемся равенством (8), положив в нем а =ve, х =

, у = ūe. Тогда

((ve)

)(-ue) + ((ve)(ūe))w= 2( , ūe)(ve).

Так как

(

, ūe) = ( *1, ūe) = 0

в силу того, что

*1 ūe, то

((ve)

)(-ūe) +((ve)(ūe))w = 0.

Применив равенства (9) и (10), получаем:

u(vw) - (uv)w = 0, откуда (uv)w = u(vw).

Замечание: Так как алгебра

содержит единицу, то в ней имеется подалгебра, состоящая из элементов вида k1, где k R. Эта подалгебра изоморфна алгебре действительных чисел, обозначим ее D. Если в предыдущих рассуждениях в качестве В взять подалгебру D, то е будет любой вектор длины 1, ортогональный к 1.

Из формулы (13) тогда следует, что

е² = (0 +1* е)(0 +1* е) = (0* 0 -

* 1) + (1* 0 + 1* )е = -1 + 0* е = -1.

Отсюда можно сделать вывод, что квадрат любого вектора a¹

1 равен 1, где ≤ 0.

Докажем и обратное: если квадрат какого-либо элемента равен

1, где ≤ 0, то этот элемент ортогонален 1. В самом деле, квадрат любого элемента, не ортогонального 1, т.е. элемента вида а = k1+a^/ где k≠ 0 и a^/ 1, равен

(k1+ a^/)(k1 + a^/) = k²1 + а'² + 2ka^/ = k²1 +

1 + 2k a^/.

Если это выражение пропорционально 1, то а^/ = 0, следовательно, а = kl, но квадрат k1 не может равняться

1, где ≤ 0.

Отсюда следует, что элементы, ортогональные 1, и только они характеризуются тем свойством, что их квадраты равны

1, где ≤ 0. Тогда для произвольного элемента а А берется его единственное представление в виде

а = k1+a^/, где а^/2 =

1 и ≤ 0,

а сопряженный ему элемент в виде ā = k1 - a'

Теорема Гурвица. Любая нормированная линейная алгебра, с единицей над полем действительных чисел изоморфна одной из четырех алгебр: полю действительных чисел, полю комплексных чисел, телу кватернионов или алгебре октав.

Пусть

- нормированная линейная алгебра с единицей над полем действительных чисел, а - ее подалгебра, содержащая 1, е B, где е - единичный вектор. Как мы показали ранее, является подалгеброй алгебры (A, +, ._R, .). Из теорем 1 и 2 следует, что .изоморфна удвоенной подалгебре .

Рассмотрим подалгебру

, изоморфную полю действительных чисел (R, +, .). Если она не совпадает со всей алгеброй ,то найдется единичный вектор е D. Составим подалгебру , изоморфную удвоению , а следовательно, изоморфную полю комплексных чисел. Назовем ее комплексной подалгеброй алгебры . Из того, что сказано выше о сопряжении в алгебре , вытекает , что для элементов из D + De сопряжение совпадает с обычным сопряжением комплексных чисел.