Алгебра октав (стр. 15 из 19)

Итак, все условия скалярного произведения при

(w, w₁) =

(w ₁+w₁ )

для октав w и w₁ выполнены.

Лемма 2. В любой нормированной линейной алгебре

имеет место тождество:

(a₁b_1,a₂b₂) + (a₁b₂, a₂b₁) = 2(а_1, a₂)(b_1, b₂). (1)

Подставим в основное тождество (

) данной нормированной линейной алгебры вместо х сумму a₁ + а₂, а вместо у - элемент b. Тогда:

((a₁ + а₂)b, (а₁ + a₂)b) = (a₁ + а₂, а₁ + а₂)(b, b)

(a₁b + a₂b, a₁b + a₂b) = (a₁+a₂, a₁+a₂)(b, b)

(a₁b + a₂b, a₁b) + (a₁b + a₂b, a₂b) =

(а₁, a₁)(b, b) + (a₂, a₂)(b, b) + 2(a₁, a₂)(b, b)

(a₁b, a₁b) + (a₂b, a₂b) + 2(а₁b, a₂b) =

(a₁, a₁)(b, b) + (a₂, a₂)(b, b)+2(a₁, a₂)(b, b). (2)

Новсилуусловия (

):

(a₁b, a₁b) = (a₁, a₁)(b, b); (a₂b, a₂b) = (a₂, a₂)(b, b).

Тогда из (2) следует

(a₁b,a₂b) = (a₁, a₂)(b, b). (3)

Заменим в (3) b на сумму b₁ + b₂:

(a₁(b₁ + b₂), a₂(b₁ + b₂)) = (a₁, a₂)(b₁ + b₂, b₁ + b₂)

(a₁b₁+a₁b₂, a₂b₁+a₂b₂) = (a₁, а₂)((b₁, b₁)+(b₂, b₂)+2(b₁, b₂))

(a₁b₁, a₂b₁) + (a₁b₁, a₂b₂) + (a₁b₂, a₂b₁) + (a₁b₂, a₂b₂) =

(a₁, a₂)(b₁, b₁) + (a₁, a₂)(b₂, b₂) + 2(a₁, a₂)(b₁, b₂). (4)

Новсилу (З):

(a₁b₁, a₂b₁) = (a₁, a₂)(b₁, b₁); (a₁b₂, a₂b₂) = (a₁, a₂)(b₂, b₂).

Тогдаиз (4) следует

(a₁b₁, a₂b₂) + (a₁b₂, a₂b₁) = 2(a₁, a₂)(b₁,b₂),

что и требовалось доказать.

Лемма 3. В нормированной линейной алгебре

с единицей имеет место равенство

(аb)

= (b, b)а. (5)

Докажем это равенство для случая b

1 . По следствию из леммы 1 тогда для любого х А имеет место х = k1 + b, откуда при х = b следует k= 0. В этом случае

= - b.

Рассмотрим элемент с = (ab)

- а, где = (b, b).

В силу свойств скалярного произведения имеем:

(с, с) = ((аb)

- а, (аb) - а) =((аb) , (ab) ) + ²(a, а)- 2 ((ab) , а). (6)

Упростим первое слагаемое в правой части равенства (6):

((аb)

, (ab) ) = (ab, аb)( , ) = (а, а)(b, b)( , ) = (a, а)(b, b)² = ²(а, а).

Для упрощения третьего слагаемого в правой части равенства (6) воспользуемся тождеством (1), записав его в виде:

(а₁b₁, а₂Ь₂) = 2(а₁, a₂)(b₁, b₂) - (a₁b₂, a₂b₁).

Положив a₁ = ab, b₁ =

, a₂ = a, b₂ = 1, получим:

((аb)

, a) = 2(ab, а)( , 1) - (ab, а ). (7)

Так как

b

1, то ( , 1) = (-b, 1) = -(b, 1) = 0.

Далее:

-(ab, а

) = -(ab, а(-b)) = (ab, ab) = (a, a)(b, b) = (а, а).

Тогда:

((аb)

, а) = (а, а).

Отсюда в равенстве (6) получаем:

(с, с) =

²(а, а) + ²(а, а) - 2 ²(а, а) = 0.

Так как (с, с) = 0, то с = 0, или (ab)

- а = 0, откуда

(аb)

= а = (b, b)a.

Если b не ортогонален 1, то b = k1 + b^/, где b^/

1. Тогда

= k1 - b^/ и (аb) = (а(k1+ b^/))(k1- b^/) = k²а - (ab^/)b^/ = k²а + (аb^/) ^/.

Так как по доказанному выше:

(аb^/)

^/.= ( ^/, ^/)а, то(аb) = k²a + (b^/, b^/)a = [k² + (b', b')]a = (b, b)a,

таккак

(b, b) = (k1+ b^/, k1+ b^/) = k²(1, l) + (b', b')+2k(b', l) = k² + (b', b')

в силу того, что (1, 1) = 1 и (b^/ , 1) = 0, так как b^/

1.

Следствие 1. В нормированной линейной алгебре

с единипей имеет место равенство