Алгебра октав (стр. 13 из 19)

х = х₁е₁ + х₂е₂ + .... + х_пе_п, у = y₁е₁ + y₂е₂ + .... + y_пе_п. .

Определение. Скалярным произведением элементов х, у

А называется сумма х₁у₁ + х₂у₂ + ... + х_пу_п.

Обозначение скалярного произведения:

(х, у) = х₁у₁ + х₂у₂ + ... + х_пу_п.

В частности:

(х, х) =

+ +… + .

Скалярное произведение элементов х, у

А должно удовлетворять общим условиям скалярного произведения в линейных пространствах:

1)для любых х, у

А (х, у) ≥ 0 и (х, х) = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;

2)для любых х, у

А имеет место (х, у) = (у, х);

3)для любых х, у

А и А R имеет место (λх, у) = (х, λу) = λ(х, у):

4)для любых х, у, z

А имеет место (х, у + z) = (х, у) + (х, z).

Определение. Линейная алгебра

называется нормированной, если в ней можно ввести скалярное произведение для любых х, у А таким образом, чтобы выполнялось равенство:

(ху, ху) = (х, х)(у, у) . (

)

Если положим

=|х|. то равенство ( ) записывается в виде:

|ху| = |х|

|у|.

Из (ху, ху) = (х, х)(у, у) следует, что если ху = 0, то либо х = 0, либо у = 0. В самом деле, тогда

(0, 0) = (х, х)(у, у)

(х, х)(у, у) = 0,

откуда либо (х, х) = 0, либо (у, у) = 0. А тогда либо х = 0, либо у =0.

Лемма 1. Любой элемент линейной алгебры молено разложить на два слагаемых, одно из которых пропорционально какому-либо ненулевому элементу, а другое ортогонально ему.

Пусть e

А, и u e, а - произвольный элемент из А. Покажем, что найдется такое k R, что a - ke e. Тогда:

a - ke

e (a – ke, e) = 0 (a, e) – k(e, e) = 0.

Скалярное, произведение (е, е) ≠ 0, так как е ≠ 0. Тогда а = kе + (а - kе) = kе + u, где u = a - ke

e.

Следствие. Если

- линейная алгебра с единицей 1, то для любого а А имеет место а = k1 + u, где u 1.

Пример 1. Пусть (C, +, ._R, .) - поле комплексных чисел. Базисом в С являются 1, i. Скалярное произведение двух комплексных чисел z =а+biи u=с+ di определим как (z, u) =

(zū + u ).

Так как

zū = (а+ bi)(с- di) = (ac+bd)+(bc-ad)i,

u

= (с+ di)( а-bi) = (ac+bd)+(ad-cb)i,

то(z, u) =

(zū + u ) = ac+bd.

В частности,

(z, z) =

(z + z ) = z = |z|² = a²+b².

Таккак,

zu = (ac-bd)+(ad+bc)i,

то(zu, zu) =

((zu)*( )+( zu)( ))=( zu)( )=|zu|² = (ac-bd)²+( ad+bc)²=

a²с²-2abcd + b²d² + a²d² + 2abcd + b²c² = a²c² + a²d² + b²c² + b²d² =

a² (c² + d²) + b² (c² + d²) = (a² + b²)(c² + d²) = | z |²

| u |² = (z, z)(u, и),

т.е. выполняется

(zu, zu) = (z, z)(u, и).

Проверим выполнение условий скалярного произведения:

1) (z, z) = | z |² = a² + b² ≥ 0 и(z, z) = a² + b² = 0

a= 0 b= 0 z=0;

2) (z, u) =

(zū + u ) = ( u +zū) =(u, z);

3) (z, ku) =

(z +(ku) ) = k(zū + u ) =k(z, u);

4) (z, u+v) =

(z +( u+v) ) = (zū+z + u + v ) = (zū+ u )+ ( z + v ) = (z+u)+(z+v).

Итак, все условия скалярного произведения при

(z, u) =

(zū + u )

выполнены для комплексных чисел zи u.

Пример 2. Пусть

- тело кватернионов. Базисом в К являются 1, i, j, k. Если

р = a+bi+cj+dk, q = a₁+b₁i+c₁j+d₁k,

то по свойству 6 сопряженных кватернионов

p

+ q = 2(aa₁ + bb₁ + cc₁ + dd₁).

Возьмем в качестве скалярного произведения двух кватернионов р и q выражение

(p + q ) = aa₁ + bb₁ + cc₁ + dd_1.

Итак,

(p, q) =

(p + q ).

В частности,

(p, p) =

(p + p )= p = |p|² = a²+ b² + c² + d².

Проверим выполнение условий скалярного произведения: