Алгебра октав (стр. 12 из 19)
.Или, алгебраическое сопряжение используется для определения модуля числа алгебры.
Для того, чтобы получить действительное число в случае произвольной гиперкомплексной алгебры, следует придумать процедуру, с помощью которой можно отбросить все мнимые единицы. Наиболее простой операцией сопряжения, при этом похожей на определенное выше сопряжение, является операция смены знаков сразу у всех мнимых единиц числа, безотносительно способа их получения и их свойств:
.Сменив знаки при всех мнимых единицах, получим:
.Естественно, что столь вольное обращение с мнимыми единицами не может гарантировать, что
является действительным числом. Но при этом отметим, что сумма 
как раз является действительным числом. Таким образом, нам нужно отображение, которое произведению в одной области сопоставляет сложение в другой и наоборот. Такой операцией является пара отображений - логарифмирование и потенцирование. Еще раз напомним их свойства:
, 
,в случае, если a и b коммутируют по умножению.
Таким образом, для получения числа, алгебраически сопряженного заданному, нужно найти его логарифм, сменить знаки у всех мнимых единиц и потенцировать.
Любое число любой гиперкомплексной алгебры естественным образом коммутирует как само с собой, так и с действительным числом, поэтому
.Или, если
, то 
.Среди свойств алгебраического сопряжения отметим весьма важные:
- сопряженное произведения равно обратному произведению сопряженных:
, 
,- в некоторых алгебрах алгебраическое сопряжение совпадает по результату с сопряжением по действительных чисел, все виды сопряжения в ней совпадают. Сопряжение по мнимой единице:
.a) Алгебраическое сопряжение:
; 
,то есть смена знаков мнимых единиц после логарифмирования эквивалентна смене знака у мнимой единицы самого числа:
.Здесь одинаково обозначены сопряжение по мнимой единице и алгебраическое. Полагаю, пока нет совмещения сопряжений в одной формуле, разночтений возникнуть не должно.
б) кватернионы.
Кватернионы имеют строение:
и получены некоммутативным удвоением алгебры комплексных чисел:
.Мнимая единица удвоения j не коммутирует с единицей i, поэтому сопряжение по ней требует сопряжения также и по i и по k:
.Алгебраическое сопряжение в кватернионах, также как в комплексных числах, просто меняет знак у компонент при мнимых единицах:
.То есть в кватернионах сопряжение по мнимой единице и алгебраическое сопряжение так же совпадают.
§5 .Некоторые тождества для октав
Приведем основные тождества, применимые к октавам. Тождества базируются на понятии ассоциатора, коммутатора и йорданова произведения.
(
)= 
- ассоциатор; 
- коммутатор; 
- йорданово произведение.Линеаризуя тождества, несложно получить, что
& 
.Таким образом, ассоциатор есть кососимметрическая функция от x, y, z. В частности:
. 
.Алгебры, удовлетворяющие этому условию, называются эластичными. Таким образом, алгебра октав эластична. Покажем на основе эластичности тождество:
, 
.В силу того, что
для октав всегда есть действительное число, а в силу эластичности, 
получаем:
.Таким образом, для эластичной алгебры справедливо:
.Функция Клейнфелд:
.Лемма1.
- кососимметрическая, для любой пары равных аргументов 
.В силу правой альтернативности
.Во всякой алгебре справедливо тождество:
.Достаточно раскрыть все ассоциаторы. Обозначив левую часть этого равенства через
, получим:
Поменяв местами:
получим: 
.Используя
, получим, что при любых одинаковых аргументах. Из этого следуют тождества:1)
;2)
;3)
;4)
.Тождества Муфанг.
Правое тождество Муфанг:
;Левое тождество Муфанг:
;Центральное тождество Муфанг:
.Вопросы о строении простых алгебр в том или ином многообразии являются одними из главных вопросов теории колец. Мы уже знаем один пример простой неассоциативной альтернативной алгебры - это алгебра Кэли-Диксона. Оказывается, что других простых неассоциативных альтернативных алгебр не существует. Этот результат доказывался с нарастанием общности на протяжении нескольких десятков лет разными авторами: вначале для конечномерных алгебр (Цорн, Шафер), затем для алгебр с нетривиальным идемпотентом (Алберт), для альтернативных тел (Брак, Клейнфелд, Скорнаков), для коммутативных альтернативных алгебр (Жевлаков) и т. д. Наибольшее продвижение было получено Клейнфелдом, доказавшим, что всякая простая альтернативная неассоциативная алгебра, не являющаяся ниль-алгеброй характеристики 3, есть алгебра Кэли-Диксона. Окончательное описание простых альтернативных алгебр осуществилось после появления теоремы Ширшова о локальной нильпонентности альтернативных ниль-алгебр с тождественными соотношениями.
§6. Теорема Гурвица
6.1 Нормированные линейные алгебры
Пусть
-линейная алгебра ранга п над полем действительных чисел и х, у 
А. Если e1, e2, ..., еn - базис А, то: