Алгебра октав (стр. 11 из 19)

< ><С другой стороны,

w(w₁

₁) = w|w₁|².

Сравнивая правые части этих равенств, получаем:

(ww₁)

₁ = w(w_{1 1}).

Покажем также, что в алгебре октав имеет место равенство:

₁(w₁w) = (

₁w₁)w).

Действительно,

₁(w₁w) = (ū₁ - v₁e)((u₁+ v₁e)(u+ve)) = (ū₁ - v₁e) ((u₁u- v₁)+(vu₁+ v₁ū)e) = (ū₁(u₁u-- v₁) – ( )(-v₁))+((vu₁+ v₁ū)ū₁ - v₁( ))e = (ū₁(u₁u- v₁) + (ū₁ + u )v₁) + ((vu₁+ v₁ū)ū₁ - v₁(ū ū₁ - v))e= (ū₁u₁u- ū₁ v₁+ ū₁ v₁+ u v₁) + (vu₁ ū₁+ v₁ūū₁ - v₁ūū₁ - v₁ v)e =(|u₁|²u+ u|v₁|²)+(v|u₁|² + |v₁|²v)e = (|u₁|²+ |v₁|²)u+ (|u₁|² + |v₁|²)ve = (|u₁|²+ |v₁|²)( u+ ve) = |w₁|²w. .

С другой стороны,

(

₁w₁)w = |w₁|²w.

Сравнивая правые части этих равенств, получаем:

₁(w₁w) = ( ₁w₁)w.

Рассмотрим уравнение wх = w₁, где

w = и + ve = a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,

w₁ =a₁+b₁i+c₁j+d₁k+ A₁e+B₁I+C₁J+D₁K.

- известные октавы, а х - неизвестная октава. Умножим слева это уравнение на

, w ≠ 0. Тогда:

(wх) = w₁ ( w)х = w₁ |w|² х = w₁ х = w₁ .

В этом случае октава х называется левой частной от деленияоктавы w₁ww на октаву w.

Аналогично, решением уравнения yw = w₁ является

yyy=

w₁ ,

называемый правым частным от деления октавы w₁ww на октаву w.

Найдем квадратный корень из октавы

www = a + bi + cj + dk + Ae + BI + CJ + DK.

Значение квадратного корня из этой октавы будем искать как октаву

θ= x + yi + zj + tk +Xe + YI + ZJ + TK,

где x, y, z, t, X, Y, Z, T

R, удовлетворяющий условию θ² = w. Следовательно,

(x + yi + zj + tk +Xe + YI + ZJ + TK)( x + yi + zj + tk +Xe + YI + ZJ + TK) = a + bi + cj + dk + Ae + BI + CJ + DK

x² – y² – z² – t² -X² – Y² – Z² – T²+ 2xyi + 2xzj + 2xtk + 2xXe + 2 xYI +2xzj + 2xtk = = a + bi + cj + dk + Ae + BI + CJ + DK

Еслиx≠ 0, тo из первого уравнения системы следует, что

4х⁴ - 4ах² – (b² + c² + d² + A² + B² + C² + D²) = 0

x²=

(a± ) = (a± |w|).

Так как х² ≥ 0, то х² =

(a± |w|), откуда x=± .Определив х, значения y, z, t, X, Y, Z, Tнаходим из равенств

y =

, z = , t = , X = , Y = , Z = , T = .

Из рассмотрения свойств кватернионов и октав можно заметить, что у этих числовых систем много общего. Алгебраические формы записи элементов этих числовых систем представляют собой некоторые многочлены от действительного числа и мнимых единиц с действительными коэффициентами. Одинаковым образом вводится понятие элемента сопряженного данному элементу. Свойства сопряженных элементов одни и те же, в некоторых случаях лишь с поправкой на число мнимых единиц. Понятие модуля кватерниона и октавы вводится одинаковым образом и обладает одинаковыми свойствами. То, что квадрат чисто мнимого кватерниона или октавы есть неположительное действительное число, дает для них возможность записи в виде а + t, где а

R и t² ≤ 0. Формула извлечения корня квадратного как из кватерниона, так и из октавы одна и та же, опять-таки с учетом количества мнимых единиц. При внимательном подходе к аксиоматическому определлллению этих числовых систем так же можно заметить общий подход к построению моделей этих числовых систем. Это так называемый метод удвоения, который заключается в том, что при введении нового числового множества мы строим декартов квадрат предыдущего чисссслового множества и новые числа рассматриваем как упорядоченные пары из чисел предыдущего числового множества. Так, удвоением множества действительных чисел получили множество комплексных чисел, удвоением множества комплексных^-чисел - множество кватернионов, удвоением множества кватернионов - множество октав, причем операции сложения и умножения в построенных моделях определялись совершенно одинаково. Такими же свойствами обладает и множество комплексных чисел, однако, в силу того, что их. свойства хорошо изучены на младших курсах, здесь ограничились лишь аксиоматическим построением этой числовой системы.

Теорема Фробениуса, которую мы рассмотрели в , поле комплексных чисел и тело кватернионов анализирует с общей точки зрения, как частные случаи ассоциативной линейной алгебры с делением и содержащей единицу. В дальнейшим мы попытаемся установить общий подход к таким числовым системам, как поле комплексных чисел, тело кватернионов и алгебра октав.

4.2 Алгебраическое сопряжение

Определение. Алгебраическим сопряжением называется сопряжение, которое в сочетании с операцией умножения позволяет в любой алгебре получать действительное число. Как видим, различий относительно сопряжения по мнимой единице два - во-первых, отсутствует требование использования операции сложения и во-вторых в сочетании с произведением требуется получение числа именно алгебры действительных чисел, а не одной из предшествующих удвоению.