Алгебра октав (стр. 10 из 19)

Если

w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK, w₁ =a₁+b₁i+c₁j+d₁k+ A₁e+B₁I+C₁J+D₁K.

Пусть

w = u+ ve, w₁ = u₁+ v₁e,

где u, u₁v, v₁ - кватернионы. Так как

w

=(u+ ve) (ū₁ - v₁e) = (u ū₁+ v)+(- v₁u+ v ₁)e = (u ū₁+ v)(vu₁ –v₁u)e

а w₁

=( u₁+ v₁e) (ū - ve) = (u₁ū+ v₁) + (-vu₁+v₁u)e,

то сложив эти два равенства, получим:

w

+ w₁

= (u ū₁+ v+u₁ū+ v₁) + (- v₁u+ vu₁ - vu₁+v₁u)e= (u ū₁+u₁ū + v + v₁) + 0

e = u ū₁+u₁ū + v + v₁ .

В силу свойства 6) сопряженных кватернионов имеют место:

u ū₁+u₁ū =2 (aa₁+bb₁+cc₁+dd₁),

v + v₁ = 2 (A A₁+BB₁+CC₁ +DD₁),

u = a+bi+cj+dk, u₁ = a₁+b₁i+c₁j+d₁k,

v = A+Bi+Cj+Dk, v₁ = A₁+B₁i+C₁j+D₁k.

Тогда из последних равенств следует

w

+ w₁

= 2 (aa₁+bb₁+cc₁+dd₁+AA₁+BB₁+CC₁ +DD₁).

4.1 Модуль октавы

Определение. Модулем октавы

w=a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK

называется

Модуль октавы wобозначается |w|. Следовательно,

|w| =

.

Из свойства 2) сопряженных октав следует |w|² = w

= w. Модуль октавы обладает свойствами:

1) |w| ≥ 0 и |w| = 0

w=0;

2) |ww₁| = |w|*|w₁|.

Действительно,

|ww₁|² = (ww₁)(

) = (ww₁) (

) = w(w_1* )

= w|w₁|²

= |w₁|²w

= |w₁|²

|w|²,

Откуда

|ww₁| = |w|

|w₁|

Равенство |pq| = |p|

|q| после возведения обеих частей в квадрат в развернутом виде имеет вид:

|w w₁| = |w| * |w₁|.

(a² + b² + c² + d² + A² + B² + C² + D²)

(

) = (aa₁ - bb₁ - cc₁ - dd₁ - AA₁ -BB₁ - CC₁ - DD₁)² +(ab₁ + a₁b + cd₁ -c₁d - A₁B + B₁A + C₁D - CD₁)² +(ac₁ + a₁c - bd₁ + b₁d - a₁c + ac₁ - b₁d + bd₁)² +(ad₁ + a₁d+ bc₁ - b₁c - a₁d + ad₁ + b₁c - bc₁)² +(a₁a - b₁b - c₁c -d₁d + Aa₁ + Bb₁ + Cc₁ + Dd₁)² +

(a₁b+ b₁a + c₁d-d₁c - Ab₁ + Ba₁ - Cd₁ + Dc₁)² +(a₁c+ c₁a - b₁d+ d₁b - ac₁ + ca₁ + bd₁ - db₁)² +(a₁ d+ d₁a+ b₁c- c₁b - ad₁ + da₁ - bc₁ + cb₁)².

Это равенство можно сформулировать так: произведение суммы квадратов восьми действительных чисел на сумму квадратов других восьми действительных чисел равно сумме квадратов восьми действительных чисел.

Если

w^/= bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK

- чисто мнимая октава, то

w^/2= (bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK) (bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK) = b² - c² - d² - A² - B² - C² - D² = -(b² + c² + d² + A² + B² + C² + D²) ≤ 0,

т.е. квадрат чисто мнимой октавы w^/ есть неположительное действительное число.

Можно показать и обратное: если квадрат октавы есть неположительное действительное число, то эта октава - чисто мнимая. Действительно, если октаву w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DKпредставить в виде w = а + w^/, где w^/ - чисто мнимая октава

bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK, a, a

R, то

w² = (а + w^/)(а + w^/) = a²+ w^/2+2a w^/ =a²- b² - c² - d² - A² - B² - C² - D² +2a w^/.

Если это выражение есть действительное число и а ≠ 0, то w^/= 0. Но тогда w=а, и следовательно, w² = а² не может быть ≤ 0. Следовательно, только октавы вида

w^/= bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK

могут обладать тем условием, что их квадраты являются неположительными действительными числами. С учетом этого, октаву можно представить в виде w = а + w^/ где a,a

R, w^/2≤ 0. Тогда сопряженная ей октава = а –p^/.

В ходе доказательства непротиворечивости системы аксиом алгебры октав мы получили, что

(u; v)^-1 =

; - .

Так как (и; v) = и + ve, то тогда

(и + ve)^-1 =

- .

Если

u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk,

это означает, что

(a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK)^-1=

= ,

если

w = и + ve= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK.

Итак, октава, обратная октаве w, есть октава

.

Покажем, что в алгебре октав имеет место равенство:

(ww₁)

₁ = w(w_{1 1}).

Пусть w = u+ ve, w₁ = u₁+ v₁e, где u, u₁v, v₁

K, Тогда:

(ww₁)

₁ = ((u+ ve)( u₁+ v₁e))(ū₁ - v₁e) = ((uu₁ - v)+ (v₁u+ v ū₁)e)(ū₁ - v₁e) = ((uu₁ - v)ū₁+ (v₁u+ v ū₁))+(-v₁(uu₁ - v)+ (v₁u+ v ū₁) ₁)e = (uu₁ ū₁ - vū₁+ v₁u+ vū₁) +(-v₁uu₁ +v₁ v + v₁uu₁+ vū₁u₁)e = (u|u₁|² + |v₁|²u)+(v|v₁|² + |u₁|²v)e = u(|u₁|²+ |v₁|²)+ v(|v₁|² + |u₁|²)e = (|u₁|²+ |v₁|²)( u+ ve) = |w₁|²w.