Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к их общему числу называют вероятностью события А и обозначают через Р (А). В рассматриваемом примере всего элементарных исходов 6; из них 5 благоприятствуют событию А. Следовательно, вероятность того, что взятый шар окажется цветным, равна Р (А) = 5/6. Это число и дает ту количественную оценку степени возможности появления цветного шара, которую мы хотели найти. Дадим теперь определение вероятности.
Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой:
Р(А) = m\n, где m– число элементарных исходов, благоприятствующих А, n– число всех возможных элементарных исходов испытания.
Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу.
Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:
Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.
Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m=nследовательно,
Р(А) = m\n = n\n = 1.
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m = 0, следовательно,
Р(А) = m\n = 0\n = 0.
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.
Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 < m< n, значит, 0 < m\n< 1, следовательно,
0 < Р(А) < 1.
Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству:
0 < или = Р(А) < или = 1.
Далее приведены теоремы, которые позволяют по известным вероятностям одних событий находить вероятности других событий.
Замечание. Современные строгие курсы теории вероятностей построены на теоретико-множественной основе. Ограничимся изложением на языке теории множеств тех понятий, которые рассмотрены выше.
Пусть в результате испытания наступает одно и только одно из событий wi (i=1, 2,…, n). События wi– называют элементарными событиями (элементарными исходами). Уже отсюда следует, что элементарные события попарно несовместны. Множество всех элементарных событий, которые могут появиться в испытании, называют пространством элементарных событий Q, а сами элементарные события – точками пространства Q.
Событие А отождествляют с подмножеством (пространства Q), элементы которого есть элементарные исходы, благоприятствующие А; событие В есть подмножество Q, элементы которого есть исходы, благоприятствующие В, и т.д. Таким образом, множество всех событий, которые могут наступить в испытании, есть множество всех подмножеств Q. Само Q наступает при любом исходе испытания, поэтому Q– достоверное событие; пустое подмножество пространства Q– невозможное событие (оно не наступает ни при каком исходе испытания).
Заметим, что элементарные события выделяются из числа всех событий тем, что каждое из них содержит только один элемент Q.
Каждому элементарному исходу wiставят в соответствие положительное число pi– вероятность этого исхода, причем сумма pi (по i) = 1.
По определению, вероятность Р (А) события А равна сумме вероятностей элементарных исходов, благоприятствующих А. Отсюда легко получить, что вероятность события достоверного равна единице, невозможного – нулю, произвольного – заключена между нулем и единицей.
Рассмотрим важный частный случай, когда все исходы равновозможны. Число исходов равно n, сумма вероятностей всех исходов равна единице; следовательно, вероятность каждого исхода равна 1/n. Пусть событию А благоприятствует mисходов. Вероятность события А равна сумме вероятностей исходов, благоприятствующих А:
P(A)=1/n + 1/n+ 1/n.
Учитывая, что число слагаемых равно m, имеем:
Р(А) = m\n.
Получено классическое определение вероятности.
Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо. Уже это обстоятельство указывает на ограниченность классического определения. Отмеченный недостаток может быть преодолен, в частности, введением геометрических вероятностей и, конечно, использованием аксиоматической вероятности.
Наиболее слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. Обычно о равновозможности элементарных исходов испытания говорят из соображений симметрии. Так, например, предполагают, что игральная кость имеет форму правильного многогранника (куба) и изготовлена из однородного материала. Однако задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются весьма редко. По этой причине наряду с классическим определением вероятности используют и другие определения, в частности статистическое определение: в качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней. Например, если в результате достаточно большого числа испытаний оказалось, что относительная частота весьма близка к числу 0,4, то это число можно принять за статистическую вероятность события.
Легко проверить, что свойства вероятности, вытекающие из классического определения, сохраняются и при статистическом определении вероятности. Действительно, если событие достоверно, то m= nи относительная частота
m\n = n\n = 1,т.е. статистическая вероятность достоверного события (так же как и в случае классического определения) равна единице.
Если событие невозможно, то m= 0 и, следовательно, относительная частота
0/ n= 0, т.е. статистическая вероятность невозможного события равна нулю.
Для любого события 0 < или = m < или = n и, следовательно, относительная частота
0 < или = m/ n < или =1, т.е. статистическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей.
Для существования статистической вероятности события А требуется:
а) возможность, хотя бы принципиально, производить неограниченно число испытаний, в каждом из которых событие А наступает или не наступает;
б) устойчивость относительных частот появления А в различных сериях достаточно большого числа испытаний.
Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности; так как в качестве вероятности события можно принять не только 0,4, но и 0,39; 0,41 и т.д.
2.3 Условная вероятность
Во многих случаях вероятности появления одних событий зависят от того, произошло другое событие или нет. Например, вероятность своевременного выпуска машины зависит от поставки комплектующих изделий. Если эти изделия уже поставлены, то значение искомой вероятности будет одним. Если же она определяется до поставки комплектующих, то ее значение, очевидно, будет другим.
Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р (А/В).
В тех случаях, когда вероятность события А рассматривается при условии, что произошли два других события В и С, используется условная вероятность относительно произведения событий В и С:
Р (А/ВС).
3. Формулы умножения и сложения вероятностей
3.1 Основные формулы комбинаторики
Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.
Перестановкаминазывают комбинации, состоящие из одних и тех же nразличных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок
Pn = n!,
где n! =1*2*3… n.
Заметим, что удобно рассматривать 0!, полагая, по определению, 0! = 1.
Пример. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?
Решение. Искомое число трехзначных чисел
Р3 = 3! =1*2*3 = 6.
Размещенияминазывают комбинации, составленные из nразличных элементов по mэлементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений:
Amn = n(n-1) (n-2) … (n-m+1).
Пример. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?
Решение. Искомое число сигналов: А26 = 6*5 = 30.
Сочетаниями называют комбинации, составленные из nразличных элементов по mэлементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний
Cmn = n! / (m! (n-m)!).
Пример. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?
Решение, Искомое число способов: С210 = 10! / (2!*8!) = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 / 1*2* 1*2*3*4*5*6*7*8 = 45.
Подчеркнем, что числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством