Локальная и нелокальная задачи для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта (стр. 1 из 2)

Локальная и нелокальная задачи для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта

Соиск. Дзарахохов А.В.

Кафедра математики.

Горский государственный аграрный университет

Доказана однозначная разрешимость локальной и нелокальной краевых задач для нагруженных уравнений 2 порядка оператора Геллестедта.

Рассмотрим уравнение

(1)

в области Ω, ограниченной отрезками АА0, ВВ0, А0В0 прямых

соответственно и характеристиками

уравнения (1) в полуплоскости y<0, λ(y) – заданная непрерывная функция.

Пусть

– параболическая,

- гиперболическая области Ω,

- интервал прямой y=0.

ЗАДАЧА 1. Найти в областях Ω1, Ω2 решение

уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям

, (2)

, (3)

где

- непрерывные, а

- дважды непрерывно дифференцируемая функции, причем

. (4)

Решение задачи Коши

для уравнения (1), y<0, в области Ω2 имеет вид [1]:

, (5)

где

Удовлетворяя (5) заданному условию (3), получим

. (6)

В равенстве (6) сделаем замену

В результате получим

Заменяя в последнем равенстве x через

, получаем:

. (7)

Из равенства (7) находим

, (8)

где

Обращая (8) как обобщенное интегральное уравнение Абеля относительно

, получаем [2]:

. (9)

Или с учетом перестановки Дирихле порядка интегрирования во втором интеграле правой части (9), получаем:

. (10)

Рассмотрим

Произведя замену переменных

в последнем равенстве, получим

. На основании равенства [3]

будем иметь

. (11)

Подставляя (11) в (10), окончательно получаем функциональное соотношение между

, привнесенное из гиперболической части области Ω на линию y = 0:

. (12)

При m = 0 оно принимает вид:

. (13)

Устремляя

из Ω1, получаем функциональное соотношение между

, привносимое на линию y = 0 в виде:

. (14)

В начале рассмотрим случай, когда m = 0. Исключая из уравнения (13) и (14)

и, учитывая краевые условия (2), приходим к задаче

, (15)

. (16)

Решение (15), (16) представим в виде:

, (17)

где обозначено

Отсюда полагая x=x0, в силу условия (14) однозначно найдем

. Затем подставляя это значение в (17) полностью определяем

После определения

в области Ω1 приходим к задаче (1), (2) и

. Нетрудно убедиться, что решение

этой задачи удовлетворяет интегральному уравнению

, (18)

где

– функция Грина указанной выше смешанной задачи для уравнения теплопроводности. Отсюда, полагая в (18) x = x0, для функции

получаем интегральное уравнение

(19)

с ядром

и правой частью

Уравнение (19) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода и оно безусловно разрешимо в пространстве

ЗАДАЧА 2. Требуется найти функцию

, удовлетворяющую всем условиям задачи 1, кроме второго условия из (2) и (4), вместо которых берут условия:

, (20)

. (21)

Для решения задачи 2, поступая как выше, с учетом условия (21) функцию

однозначно определим решением уравнения (15), удовлетворяющим условиям

Пользуясь функцией Грина

второй краевой задачи для уравнения теплопроводности, убеждаемся, что решение

задачи 2 в области Ω1 удовлетворяет уравнению

, (22)

где

Отсюда полагая в (22) x = x0 и учитывая условие (20), получаем систему интегральных уравнений Вольтерра второго рода относительно

(23)