Локальная и нелокальная задачи для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта (стр. 2 из 2)
.В силу свойства функции Грина
и ядер системы (23), нетрудно убедиться, что система уравнений (23) допускает единственное решение в пространстве 
[4].Пусть теперь m > 0. Исключая
из системы уравнений (12) и (15), получаем интегродифференциальное уравнение относительно 
: 
, (24)удовлетворяющее граничному условию
(25)в случае задачи 1 и нелокальному условию
(26)в случае задачи 2.
Интегрируя равенство (24) дважды от 0 до x, с учетом граничных условий (25), (26), получаем:
(27)Преобразуем двойной интеграл в левой части равенства (27):
. (28)Учитывая равенство (28) в (27), получаем:
(29)где
. (30)Преобразуем двойные интегралы в равенстве (30). В результате получим
, 
.Учитывая J3 и J4 в равенстве (30), окончательно будем иметь:
Откуда заключаем, что
. Таким образом, относительно 
получим интегральное уравнение Фредгольма второго рода: 
, (31) 
.
, то обращая (31) через резольвенту R(x, t), будем иметь 
, (31)
, 
, если выполнены условия 
.
в области Ω1 приходим к задаче (1), (2) и 
, которая на основании свойств функции Грина эквивалентно редуцируется к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. В области Ω2 решение задачи 2 задается формулой (5).