Дифференциальные уравнения гиперболического типа (стр. 2 из 3)

Формулу (10), называемую формулой Даламбера, мы получили, предполагая существование решения поставленной задачи. Эта формула доказывает единственность решения. В самом деле, если бы существовало второе решение задачи (2) – (3), то оно представлялось бы формулой (10) и совпадало бы с первым решением.

Нетрудно проверить, что формула (10) удовлетворяет (в предположении двукратной дифференцируемости функции

и однократной дифференцируемости функции ) уравнению и начальным условиям. Таким образом, изложенный метод доказывает как единственность, так и существование решения поставленной задачи.

2.2.2.Физический интерпретация.

Функция

, определяемая формулой (10), представляет собой процесс распространения начального отклонения и начальной скорости. Если фиксировать , то функция дает профиль струны в момент , фиксируя , получим функцию , дающую процесс движения точки . Предположим, что наблюдатель, находившийся в точке x=0 в момент t=0, движется со скоростью a в положительном направлении. Введем систему координат, связанную с наблюдателем, полагая , . В этой подвижной системе координат функция

будет определятся формулой и наблюдатель все время будет видеть тот же профиль, что и в начальный момент. Следовательно, функция представляет неизменный профиль f(x), перемещающийся вправо (в положительном направлении оси x) со скоростью a (распространяющуюся или бегущую волну). Функция f(x+at) представляет, очевидно, волну, распространяющуюся налево (в отрицательном направлении оси x) со скоростью a. Таким образом, общее решение (10) задачи Коши для бесконечной струны есть суперпозиция двух волн , одна из которых распространяется направо со скоростью a, а вторая – налево с той же скоростью. При этом

,

где

.

Для выяснения характера решения (10) удобно пользоваться плоскостью состояний (x,t) или «фазовой плоскостью». Прямые x-at=const и x+at=const являются характеристиками уравнения (2). Функция

вдоль характеристики x-at=const сохраняет постоянное значение, функция постоянна вдоль характеристики x+at=const.

Предположим, что f(x) отлична от нуля только в интервале

и равна нулю вне этого интервала. Проведем характеристики и через точки и ; они разбивают полуплоскость (x,t>0) на три области I, II, и III (рис. 3, а).

Функция

отлична от нуля только в области II, где и характеристики и представляют передний и задний фронты распространяющейся направо волны.

Рассмотрим теперь некоторую фиксированную точку

и приведем из нее обе характеристики и , которые пересекут ось x в точках , t=0 и , t=0. Значение функции в точке равно , т. е. определяется значениями функций и в точках и , являющихся вершинами треугольника MPQ (рис. 3, б), образованного двумя характеристиками и осью x. Этот треугольник называется характеристическим треугольником точки . Из формулы (10) видно, что отклонение точки струны в момент зависит только от значений начального отклонения в вершинах P(x0-at0,0) и Q(x0+at0,0) характеристического треугольника MPQ и от значений начальной скорости на стороне PQ. Это становится особенно ясным, если формулу (10) записать в виде

(11)

Начальные данные, заданные вне PQ, не оказывают влияния на значения

в точке . Если начальные условия заданы не на всей бесконечной прямой, а на отрезке , то они однозначно определяют решение внутри характеристического треугольника, основанием которого является отрезок .

2.2.3. Пример.

Решение (10) можно представить в виде суммы

, где

(12)

. (13)

Если начальная скорость равна нулю (

), то отклонение есть сумма левой и правой бегущих волн, причем начальная форма обеих волн определяется функцией , равной половине начального отклонения. Если же , то представляет возмущение струны, создаваемое начальной скоростью.

Рассмотрим распространение начального отклонения, заданного в виде равнобедренного треугольника. Такой начальный профиль можно получить, если оттянуть струну в середине отрезка

. На рис. 4 даны последовательные положения струны через промежутки времени .

Наглядное представление о характере процесса распространения можно получить с помощью фазовой плоскости (x, t). Проведем характеристики через точки

и ; они разобьют полуплоскость на шесть областей (рис. 5).

Отклонение

в любой точке (x,t) дается формулой (12). Поэтому в областях I, III, V отклонение равно нулю, так как характеристический треугольник любой точки из этих областей не имеет общих точек с отрезком , на котором заданы начальные условия. В области II решением является «правая волна» , в области IV – «левая волна» , а в области VI решение есть сумма «левой» и «правой» волн.