Таких элементарных осцилляторов у природы видимо-невидимо, поскольку длины волн, разрешенных к существованию, ничем не ограничены. Они могут быть и километровыми (радиоволны), а могут быть и намного длиннее. Есть в наборе и совсем короткие, порядка межузельного расстояния в кристаллической решетке (рентгеновские лучи), а есть и намного, намного короче. От каждой электромагнитной волны, т.е. от каждого осциллятора со своей частотой колебаний , природа, как мы уже убедились, припрятала энергию (h)/2. При этом накопила она немало. Суммарная энергия, оставшаяся после "зачистки", когда наблюдаемых и осязаемых полей вроде бы не стало, выражается суммой
причем суммирование нужно выполнить по всем длинам волн. Можно убедиться, что эта сумма равна бесконечности!
Вот это энергетический запас так запас! Что по сравнению с этим какая-то там мелочь, равная энергии, запасенной в нефти в Каспийском море или Арабских Эмиратах. Да и ядерной и термоядерной энергии с этим запасом не тягаться. Бесконечность - она и есть бесконечность. Если вы думаете, что это все, то глубоко заблуждаетесь. С квантовой точки зрения любая частица одновременно является волной. Раз так, то с каждой частицей связано свое поле, свои колебания, и от каждого можно еще припрятать энергию, равную (h)/2. Это уже не шляпа получается, а какой-то гигантский котел, в котором кипят, дрожат, возникают и снова исчезают все до единой элементарные частицы (даже те, про которые мы еще ничего не знаем), а мы тут с вами одни фотоны обсуждали. В принципе, эти частицы можно даже вытащить из этого котла на свет божий и сделать "реальными", т.е. наблюдаемыми.
Нарушить их вакуумное небытие можно, используя прогрессивный метод Балды по обучению чертей в озере уму-разуму. Надо просто хорошенько треснуть по этой шляпе (по-научному это звучит - сообщить системе достаточное количество энергии) и посыпятся частицы, как из рога изобилия. Для объяснения эффекта Казимира нам надо сделать последний, очень маленький, шажок. Надо только вспомнить, что такое резонатор. В общем, то самое устройство, которое откликается не на все волны, а только на те, у которых длина волны подходящего, нужного размера. Внеся в вакуум металлические пластинки, природа создала резонатор. Теперь вакуум взбаламутился (опять эффект Балды!). Очень неуютно почувствовали себя те нулевые колебания электромагнитных волн, у которых в промежуток между пластинами не укладывается целое число полуволн. Причина в том, что, как вы знаете из школьного курса физики, электромагнитное поле в металл не проникает. Следовательно, волны, у которых узел не попадает на пластинку, оттуда изгоняются. Теперь энергия вакуума изменилась. Суммируются только те половинки, у которых = a/n, где n - произвольное целое число, a - расстояние между пластинами.
Итак, полная энергия вакуума c пластинами теперь равна
Увы, эта сумма тоже равна бесконечности. Мы хотели бы найти приращение знергии
Разумеется, с обыденной точки зрения вычитать из бесконечности бесконечность - совершенно абсурдная задача. Однако в чем физики поднаторели, так это в умении производить арифметические операции с бесконечностями. Для физика-теоретика, даже начинающего, вычесть из бесконечности бесконечность и при этом получить конечное число (причем наблюдаемое, экспериментально проверяемое) - раз плюнуть. Ответ в нашей задаче имеет вид
Метод получения этого результата, хотя и похож на фокус, удивительно прост. Для того чтобы придать смысл формальному манипулированию с бесконечностями, надо сделать сначала суммы конечными. Предположим, что очень коротких волн не бывает, т.е. в сумме по мы ограничимся только > 0. Соответственно в сумме по n придется ограничиться n < a/0. Теперь подсчитаем разность. Она станет функцией обрезки 0. Если брать все меньшие и меньшие значения 0 и построить график этой функции, то окажется, что она стремится к конечному пределу при 0 0. Такая процедура, носящая название перенормировки или регуляризации, и приводит к упомянутому выше результату.
Полученный результат - это результат "одномерной" электродинамики. Наши волны могли распространяться только в одном направлении - перпендикулярно пластинкам. На самом деле, хотя пластинки и плоские, задача трехмерная. Электромагнитные волны (даже в виде нулевых колебаний) могут распространяться в трех направлениях. Сути дела это не меняет, нужна только небольшая модификация наших расчетов.
Окончательный ответ для трехмерной задачи выглядит так:
где S - площадь пластинки.
Что же теперь делать с этим выражением? Ну, во-первых, очевидно, что при сближении пластинок (уменьшении a), E уменьшается (знак минус!). Следовательно, чем ближе пластинки, тем энергетически выгоднее. Вспоминайте девятый класс: потенциальная энергия U камня в поле силы тяжести на высоте x равна mgx. Опустите камень и его энергия уменьшится. Но вы-то знаете, что Земля камень притягивает! Следовательно, уменьшение потенциальной энергии при сближении тел свидетельствует об их взаимном притяжении. А как эту силу извлечь из энергии? Да очень просто. Для нашей "каменной" задачи составим разность
Сила mg как раз и равна U/x. В общем случае энергия в зависимости от расстояния может меняться по закону, гораздо более сложному, чем линейный. Тогда сила находится при помощи производной:
Знак минус появился из-за того, что сила - векторная величина, а по данному правилу мы находим проекцию силы на ось абсцисс. В "каменной" задаче у нас по этой формуле получилось бы mg, т.е. как и надо - сила направлена вниз, к Земле.
Используя эту процедуру, легко найти силу, с которой притягиваются пластинки:
Такое притяжение, действительно, было обнаружено экспериментально. Вот уж кто умеет ставить фокусы, так это экспериментаторы! Они ухитрились очистить свою сцену от всех взаимодействий и почувствовать эффекты, связанные с абсолютным вакуумом, что само по себе представляется чудом. Для S = 1 см2, a = 0,5 мкм сила притяжения составила 2·106 H, что неплохо согласуется с приведенной теоретической формулой.
Обратите внимание: в выражение для силы вообще не входит константа электромагнитного взаимодействия (отсутствует e - заряд электрона), и это несмотря на то, что мы говорили о металле и о взаимодействующем с ним электромагнитном поле. Именно этот факт позволяет взглянуть на эффект Казимира как на эффект поляризации вакуума за счет граничных условий (пластинки). Тут существует полная аналогия с поляризацией диэлектрика во внешнем электрическом поле. Можно даже описать это явление, введя диэлектрическую проницаемость вакуума . Не путайте только ее с 0, которую вставляют во все электрические законы в системе СИ, и которая возникла только из-за нашей путаницы в определении единицы заряда. Наша вакуумная - настоящая физическая характеристика, описывающая отклик вакуума на внешние воздействия.
Вот теперь мы подошли к концу. Как и следовало ожидать, природа тот же фокусник-обманщик. Мы лишний раз убедились в правоте житейской мудрости, что если ничего нет, так уж ничего и нет. Наша задача, однако, заключалась не в том, чтобы поймать природу за руку, а в том, чтобы разобраться, как все это устроено. Как и всегда, при изучении природных явлений возникает вопрос: а нельзя ли из этого знания извлечь пользу? Нельзя ли это как-то использовать? Ведь энергия, где бы она не была запасена, - энергия и просто обязана совершать работу. Если мы научились извлекать энергию, запасенную не только в нефти, но и в атомном ядре, то почему бы не попробовать черпать ее из бездонных вакуумных колодцев. Действительно, такие эксперименты проводятся. Вы, конечно, понимаете, что речь в данном случае идет не о создании практических устройств типа печки или реактора, а об исследовании принципиальной возможности использования этой энергии.