М. И. Кацнельсон
У знаменитого аргенитинского писателя Хорхе Борхеса есть произведение (жанр определить не берусь) - "Бестиарий", представляющее собой сборник заметок о различных вымышленных существах. Там, между прочим, рассказывается (школьники и преподаватели, внимание!) о некоем китайском мудреце, который, упорно трудясь, за три года изучил искусство убивать драконов при помощи колдовства. Однако это искусство ему так и не пригодилось, так как за всю последующую жизнь ему так почему-то и не встретился ни один дракон... Льщу себя надеждой, что знакомство с двумя упомянутыми в заглавии животными окажется, возможно, более поучительным и полезным.
Французский средневековый мыслитель (слово "схоласт" в новейшее время приобрело некий ненужный оценочный смысл) Буридан придумал замечательный мысленный эксперимент. Представим себе осла, стоящего в точке, равноудаленной от двух совершенно одинаковых охапок сена. Так как нет никаких причин, почему осел должен предпочесть правую (или левую) охапку, мы приходим к выводу, что осел не сможет сделать выбор и умрет от голода! (Знающие люди говорят, что исходно речь шла о собаке и, соответственно, о не столь вегетарианской еде, как сено, но в фольклор история вошла именно в таком варианте). Интуитивно ясно, что здесь что-то не так, и мы имеем дело с парадоксом. Эта забавная ситуация вобрала в себя массу возможностей порассуждать о спонтанно нарушенной симметрии, устойчивом и неустойчивом равновесии, флуктуациях, бифуркациях и прочих мудреных вещах. Пожалуй, самое важное, что она может заставить задуматься о детерминизме, предсказуемости поведения сложных систем (в данном случае ослов) и свободе воли (в данном случае опять же ослов). Я твердо уверен, как и многие другие люди, что все эти проблемы не могут быть решены в рамках одного лишь научного подхода, однако при размышлении о подобных философских проблемах небесполезно все же знать некоторые имеющие отношение к делу выводы и результаты современной физики. Итак, забудем временно об ограниченности чисто естественнонаучного взгляда на мир, и попробуем разобраться в ситуации, рассматривая осла, сено и прочие участвующие в эксперименте сущности как скопища ядер и электронов, подчиняющихся физическим законам. В состоянии ли мы на основании этих законов однозначно предсказать, какую охапку сена выберет осел?
С точки зрения ньютоновской механики дело обстоит следующим образом. В некий момент времени мы должны знать скорости и координаты всех частиц, из которых состоит наша система, что в принципе может быть достигнуто со сколь угодно высокой точностью. Мы должны также знать выражения для сил, действующих между двумя любыми частицами системы. Это тоже принципиально возможно - все такие силы в конечном счете сводятся к электромагнитным и гравитационным, а их законы мы знаем. В соответствии со вторым законом Ньютона, мы можем найти ускорения всех частиц в этот момент времени. Тогда, зная скорости, мы можем найти новые значения координат всех частиц через некоторый малый промежуток времени, а зная ускорения - скорости через этот промежуток. Повторить процедуру нужное число раз. Таким путем мы можем - в принципе! - знать состояние системы со сколь угодно высокой точностью в любой будущий момент времени. Более того, так как законы механики, электромагнетизма и гравитации допускают формально обращение знака времени, мы можем столь же детально восстановить и прошлое системы. Конечно, все это делается не совсем так, и у людей, знакомых с вычислительной математикой, от такого описания процедуры решения дифференциальных уравнений вполне может случиться истерический припадок, но принципиально здесь все верно! Вроде бы нет причин, почему при абсолютно точном знании координат и скоростей всех частиц системы в некоторый момент времени нам не восстановить со сколь угодно высокой точностью все ее прошлое и будущее. Великий французский математик, физик и астроном Пьер Лаплас в конце 18 века на основании приблизительно таких же рассуждений пришел к устрашающему выводу, что некое гипотетическое существо, знающее скорости и координаты всех частиц во Вселенной и умеющее делать без ошибок сколь угодно длинные выкладки, восстановит прошлое и правильно предскажет будущее всей Вселенной! Конечно, свобода воли при этом оказывается всего-навсего иллюзией.
Правильно ли это с чисто естественнонаучной точки зрения? На первый взгляд, ошибок в наших рассуждениях нет. В то же время, кое-что настораживает сразу. Ну, например, походя получившийся вывод об отсутствии принципиальных различий между описанием будущего и прошлого системы противоречит не только повседневному жизненному опыту, но и одному из самых надежно установленных законов природы - второму началу термодинамики. Так как я пишу для школьников, желающих узнать что-то сверх школьной программы, нет нужды детально обсуждать здесь проблемы, возникшие у Людвига Больцмана и других умных людей при попытке примирить второе начало термодинамики с законами механики. Все же стоит, пожалуй, нарушая хронологическую последовательность, упомянуть о некоторых не столь известных достижениях - уже во второй половине 20 века - в нашем понимании проблем предсказуемости и обратимости в рамках классической механики, тем более, что они имеют довольно непосредственное отношение к "проблеме Буриданова осла". Трудами многих ученых, в том числе замечательных российских математиков А. Колмогорова, Я. Синая, Д. Аносова, В. Арнольда и других, удалось установить следующее (подробнее об этих вещах можно прочитать в доступных подготовленным школьникам книгах: Г.А. Гальперин, А.Н. Земляков, Математические биллиарды, Библиотечка "Квант", вып. 77, 1990, и И. Пригожин, От существующего к возникающему, М., Наука, 1985).
Великий немецкий философ Гегель сказал: "Ответ на вопросы, которые оставляет без ответа философия, заключается в том, что они должны быть иначе поставлены". Так вот, если мы хотим в рамках ньютоновской механики понять природу различия между прошлым и будущим, мы должны поставить вопрос иначе - не об индивидуальной траектории частиц системы, а о поведении пучка близких траекторий. Предположим, что координаты и скорости все частиц в некоторый момент времени известны со сколь угодно малой, но конечной погрешностью. Если описывать, как это принято в современной механике, поведение системы как движение точки в многомерном фазовом пространстве (в котором по осям отложены компоненты координат и скоростей всех частиц - тем самым, по 6 осей на каждую частицу), то эта точка начинает свое движение в некотором "гиперпараллелепипеде", стороны которого - это величины погрешностей. Будем следить за эволюцией всей этой области. Если все силы в системе консервативны, то есть выполняется закон сохранения энергии, то, согласно одной из основных теорем классической механики - теореме Лиувилля - объем области в процессе движения остается постоянным. В то же время, диаметр области, то есть расстояние между наиболее удаленными ее точками, может, оказывается, расти, причем очень быстро (по экспоненциальному закону, то есть в геометрической прогрессии). Исходная "клякса" в фазовом пространстве, грубо говоря, расплывается, утоньшаясь. Показатель, определяющий скорость этого расплывания, обычно называют колмогоровской энтропией. Такое поведение характерно не для всех систем (скажем, оно не проявляется для столь излюбленного в школьной физике гармонического осциллятора, или при кеплеровском движении по орбите под действием гравитации). В то же время, оно не является и экзотикой, например, имеет место уже для одной частицы, движущейся по части плоскости, ограниченной кривой с участками, "выпуклыми внутрь", и отражающейся от стенок по законам упругого удара - "биллиард Синая". Для систем, состоящих из большого числа частиц, такое поведение является "типичным", то есть "гораздо больше" систем ведет себя как "биллиард Синая" чем как гармонический осциллятор (специально не уточняю смысл слов "типичный" и "гораздо больше" для возбуждения здорового любопытства читателей). Буриданов осел + охапки сена, а тем более вся Вселенная, явно относятся к системам с конечной колмогоровской энтропией. Это означает, что любая сколь угодно малая погрешность в задании начальных данных приводит к сколь угодно большой погрешности в результате, или, иными словами, две сколь угодно близкие траектории системы со временем разойдутся сколь угодно далеко. Лапласовскому всезнающему существу не позавидуешь: хранить данные с бесконечным числом значащих цифр может позволить себе только тот, чей объем памяти - мозга или компьютера - бесконечен, а любое округление приведет к полной неопределенности предсказания даже для относительно небольших промежутков времени! Между прочим, именно поэтому долгосрочный прогноз погоды является лженаучной задачей - куда уж тут посягать на свободу воли даже отдельно взятого осла... Все эти соображения имеют, между прочим, прямое отношение и к проблеме необратимости времени и обоснования второго начала термдинамики, и слово "энтропия" появилось здесь не случайно, но не будем отвлекаться (см. рекомендованную выше книжку Пригожина).
Еще более остро проблема детерминизма и предсказуемости стоит в новой, квантовой, физике, созданной в первой трети 20 века целой плеядой гениев, среди которых Макс Планк, Альберт Эйнштейн, Нильс Бор, Вернер Гейзенберг, Эрвин Шредингер, Поль Дирак, Вольфганг Паули, Макс Борн... Вот об этих вещах я и хочу сейчас рассказать - опять же стараясь не пересказывать то, что должно быть известно из школьной программы.
По английской пословице, "И кошка может смотреть на короля". Каждый из нас, простых смертных, может иметь собственное мнение о творчестве классиков нашей науки. Я думаю, величайшее достижение Эйнштейна - это не широко известная теория относительности, а открытие корпускулярно- волнового дуализма. Грубо говоря, он первый показал, что в таких устройствах как дифракционная решетка свет проявляет свою волновую природу, а в таких, как фотоэлемент - корпускулярную. Конечно, это значит, что "на самом деле" свет не является ни волной, ни потоком частиц. В известной притче о слепцах, которые ощупывали слона с разных сторон и делали утверждения типа "Слон похож на змею" , "Слон похож на колонну", "Слон похож на веревку" (кому-то видимо подвернулся хвост) важно то, что слон - это не змея, не колонна и не веревка, а нечто отличное от них всех. Впоследствии выяснилось, что "корпускулярно-волновой дуализм" присущ и электронам, и нейтронам, и, видимо, всем микрообъектам. Электрон - это частица, так как никто, нигде, никогда не регистрировал 0,98 электрона, а всегда - или целый электрон с присущим ему зарядом, массой и другими характеристиками, или ничего. И электрон - это волна, так как при движении электронов в определенных условиях (скажем, при отражении от поверхности кристалла) наблюдаются типично волновые явления интерференции и дифракции. Значит, "на самом деле" это нечто третье. После ожесточенных споров в физическом сообществе победил приблизительно такой способ интерпретации всех этих чудес. Электрон - это частица. Но: в отличие от классической частицы в смысле Ньютона, он не движется по одной определенной траектории, он движется по всем траекториям сразу. Каждой такой траектории соответствует определенная "амплитуда вероятности" - некое комплексное число. Если просуммировать все такие числа для всех траекторий (ау, юные знатоки матанализа! Понимаете, что значит суммировать по траекториям?! То-то! Интересная штука теоретическая физика, правда?)...Так вот, если просуммировать по траекториям все амплитуды вероятности и посчитать квадрат модуля того, что получилось, мы найдем вероятность движения электрона из начальной точки в конечную за данное время. Что это значит? Допустим, электрон движется сквозь дырки в экране. При этом вероятность прохождения электрона через дырку А, рассчитанная таким способом, составила 0,05, через дырку Б - 0,10 и т.д. Тогда, если везде расставить счетчики, каждый из них будет регистрировать либо целый электрон, либо ничего, но при проведении большой серии однотипных опытов счетчик, поставленный у дырки А, сработает в 5 случаев, у дырки Б - в 10, и т.д. Сверх этого теория нам не может дать ничего, все, что мы можем найти - это вероятности различных процессов. Аналогично обстоит дело и в других процессах в микромире. Скажем, если период полураспада некоего радиоактивного элемента 1 сутки, это значит, что в образце, содержащем большое число ядер, приблизительно половина ядер распадется за сутки. Когда распадется данное конкретное ядро - мы не можем сказать принципиально.