где y j—значение функции в таблице исходной информации
x1j—значение первого аргумента в таблице исходной информации;
Xj - среднее значение первого аргумента
Таким образом, скорректированное значение функции представляет собой фактическое значение функции скорректированное на влияние первого аргумента. В результате получаем ряд скорректированных значений функции, который не имеет регрессионной связи с рядом значений первого аргумента (коэффициент корреляции между скорректированной функцией и первым аргументом равен нулю).
Если в задаче имеется, например,п аргументов, то корректировка исходных значений функции должна быть выполнена по всем аргументам, кроме одного, частную связь которого с функцией предполагается определить. Для этого скорректированные значения функции у по всем аргументам, кроме второго, можно рассчитать по уравнению:
y'j = y j- (x1 j-X 1j )b1- (x3 j-Xj )b3- (xn j-X n ) bn( 32 )
угловой коэффициент регрессии из Таким:
^== 523,0— 0,00493Шл+ 0,0001155Шл".
. Расчет парной криволинейной связи между у' j и х 2jможет быть выполнен по методике, рассмотренной выше с использованием метода наименьших квадратов. Например, если для аппроксимации связи выбрана парабола второго порядка, то уравнение частной криволинейной регрессии следующее
у** j=а** +b**2 x2 + c**2 x22( 33) .
а разность между точкой, лежащей на кривой, и данной точкой корреляционного поля
Dyj = y'j-у** j =y'j -(а** +b**2 x2 + c**2 x22) (34 )
При этом сумма квадратов расстояний от каждой точки корреляционного поля до новой линии регрессии в случае параболы второго порядка будет иметь вид:
S2 = SDyj 2= S[ y'j -(а** +b**2 x2 + c**2 x22)] 2 ( 35 )
Исходя из условия минимума этой суммы, частные производные S 2 по а**, b** 2и с** 2приравниваются к нулю. Выполнив необходимые преобразования, получим систему трех уравнений с тремя неизвестными для определенияa**, b** и с**.
,Sy' = m a** + b**2 Sx2 + c**2 Sx2 2
Sy'x 2 = a**Sx2 + b**2 Sx22+ c** 2 Sx23
Sy'x22 =a**Sx22 + b**2 Sx2 3 + c**2 Sx24. ( 36 )
Решая систему уравнений (36) относительноa **, b**2и с**2, находим численные значения коэффициентов регрессии
Определяется парное корреляционное отношение для связи между скорректированными значениями функции у'и соответствующим аргументомx i. Парное корреляционное отношение является частным корреляционным отношением для связи между фактическими исходными значениями функции у и соответствующим аргументом к. В отличие от парного частное корреляционное отношение будем обозначать индексом h**уx i , где i— -порядковый номер аргумента, теснота связи с которым оценивается данным корреляционным отношением. Значение частного корреляционного отношения то же, что и коэффициента частной корреляции в случае множественной линейной корреляции.
Частное корреляционное отношение h**уx i :, определяется аналогично парному корреляционному отношению.
h** уx i ={S (y** j-Y)2 /S (y' j-Y)2 } 1/2 ( 37 )
Аналогичным путем рассчитываются частные взаимосвязи функции со всеми остальными аргументами.
Рассмотрим еще одну методику определения частной криволинейной регрессии, которая лишена этого недостатка.
ЧАСТНАЯ КРИВОЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ НА ОСНОВЕ МНОЖЕСТВЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ
Для определения уравнения множественной криволинейной регрессии также используется метод наименьших квадратов.
Рассмотрим случай, когда функция зависит от двух аргументов (x 1и x2) аналогично примеру, рассмотренному приoписаниимножественной линейной корреляции. В системе координат у— X 1— Х2располагается некое корреляционное пространство, образованное множеством точек , каждая из которых соответствует результатам измерения параметров процесса. Задача состоит в том, чтобы вписать в данноекорреляционное пространство некую поверхность, которая удовлетворяла бы условию наименьших квадратов отклонений. Условию наименьших квадратов удовлетворяет поверхность для которой сумма квадратов расстояний до точек корреляционногополя минимальна:
Уравнение такой поверхности наилучшим образом опишет взаимосвязьу, X1иХ2.
y = a + b1x1 + c1x12 + b2x2 + c2x22.( 38 ) ,
Для определения коэффициентов такого уравнения используем систему пяти уравнений с пятью неизвестными.
Sy = m a + b1Sx1+ с1Sx12 + b2Sx2 +с2 Sx22
Syx1 = aSx1 + b1Sx12 + с1Sx13 + b2Sx1 x2 +с2 Sx22 x1
Syx12 = aSx12 + b1Sx13 + с1Sx14 + b2Sx2. x12+с2 Sx22x12
Syx2 = aSx2 + b1Sx1x2+ с1Sx12x2 + b2Sx22+с2 Sx23
Syx22 = aSx22 + b1Sx1 x22 + с1Sx12 x22+ b2Sx23.+с2 Sx24 (39)
Если все точки корреляционного пространства находятся на расчетной поверхности, то множественное корреляционное отношение будет равно единице. При этом связь между функцией уи аргументамиx1и x2 будет функциональной. По мере удаления точек от расчетной поверхности этот показатель будет уменьшаться, приближаясь к нулю.
При переходе к анализу криволинейных связей возникает проблема выбора типа кривой, с помощью которой выполняется аппроксимация каждой пары рассматриваемых переменных. Для монотонно меняющегося процесса в сравнительно небольших интервалах изменения параметров, каким является металлургический процесс, можно без значительной ошибки аппроксимировать все существующие связиXi—Хе и у—Xi с помощью полиномов второй степени. Такое допущение намного упрощает методику расчета, , но в то же время сохраняет рассмотренные выше преимущества, присущие криволинейной аппроксимации. На основе сделанного допущения можно рассчитать уравнение множественной криволинейной регрессии вида:
y = a + Sbixi + Scixi2( 40 )
гдеb и c— коэффициенты регрессии приi-том аргументе(1=1, 2,...,п);
n—число аргументов в регрессионной модели;
а—свободный член уравнения регрессии.
Коэффициенты а, b иc, так же как и прежде, находятся методом наименьших квадратов из системы уравнений, которая в данном случае будет большей по сравнению с системой для определения коэффициентов множественной линейной регрессии. Количество неизвестных (а,bиc), равное числу уравнений в случае множественной криволинейной регрессии, составитz= 2 n + 1, где п—число аргументов в корреляционной модели. Таким образом, если для определения уравнения множественной линейной корреляции с десятью аргументами необходимо решить систему из 11 уравнений с 11 неизвестными {аи10 x), то для нахождения уравнения с десятью аргументами необходимо решить систему из 21 уравнения с21 неизвестным.