Из уравнения множественной линейной регрессии могут быть получены уравнения частной регрессии аргументовx1 и x2 на функцию у:
у = a' 1 + b1 х1( 23 a )
у = a' 2 + b 2 х 2( 23 b )
При этом угловые коэффициенты регрессииb1 иb 2 сохраняют те же числовые значения, что и в уравнении множественной регрессии. Свободные члены уравнений для yможно подсчитать следующим образом:
a' 1=а+b2X2, ( 24 a )
a' 2=а+b1X1, ( 24 b )
гдеа— свободный член в уравнении множественной регрессии ;
X1, X2—средние значения соответствующих аргументов.
х\.
Закономерности и выводы, используемые при исследовании взаимосвязи трех переменных (в трехмерном пространстве), применимы и для взаимосвязи большего числа переменных, .т. е. для многомерного пространства типа
y= f ( x1 , x2, .... xn) ( 25 )
В этом случае расчет уравнения множественной линейной регрессии типа
y = a+ b1x 1 + b2 x2 +.b3 x3+ + bn x n( 26 )
ведется для определения коэффициентовa, b1, b2,bn.
Чтобы определить численные значения этих величин, необходимо решить систему уравнений: аналогичную приведенной выше для двух аргументов и функции.
Определив коэффициенты регрессии решением системы уравнений , получим уравнение множественной линейной регрессии , из которого могут быть получены уравнения частной взаимосвязи функции с каждым аргументом:
у = a'i + bi хi ,(27)
где a'i—свободный член частного уравнения регрессии;
i - порядковый номер анализируемого аргумента.
Так же как и в случае трехмерной задачи, угловой коэффициент регрессииb i сохраняет то же численное значение, что и в уравнении множественной линейной регрессии . Свободный член частного уравнения регрессии рассчитывается по формуле
n
a' i=а+SbiXi-beXe( 28 )
i = 1
гдеа — свободный член множественного линейного уравнения регрессии;
Xi—средние значения аргументов;
Xe—среднее значение одного из -аргументов.
Оценкой тесноты связи при множественной линейной регрессии служит коэффициент множественной корреляцииR, определяемый по формуле:
R = { b 1[sx1 / sy ]ryx1 + ... + b n[sx n/ sy ]ryx n} 1/2 ( 29 )
Величина коэффициента множественной корреляции всегда положительна и может меняться от 0 (при отсутствии связи) до 1 (при функциональной связи). С помощью коэффициента множественной корреляции оценивают совместное влияние на зависимую переменную всех включенных в расчет аргументов. Квадрат величины коэффициента множественной корреляции показывает долю изменчивости зависимой переменной, обусловленную изменением всех рассматриваемых аргументов, и называется коэффициентом множественнойдетерминации.
Для оценки тесноты частной взаимосвязи функции и каждого аргумента служит коэффициент частной корреляции. Этот статистический показатель учитывает тесноту взаимосвязи функции и одного из показателей-аргументов при условии, что остальные аргументы закреплены на уровне своих средних значений и не влияют на функцию. Коэффициент частной корреляции обозначается индексом r yx i, гдеi—порядковый номер оцениваемого аргумента) и рассчитывается по формуле
{ 1 -R2 n } } 1/2
r yx i = { 1 - ----------------} ( 30 )
{ 1 -R2 n - 1}
где R2 n — квадрат коэффициента множественной корреляции для п аргументов;
R2 n - 1 —-квадрат коэффициента множественнойкорреляции для n—1 аргументов безi-того^. Как видно из формулы ( 30 ), коэффициент частной корреляции позволяет выделить уменьшение изменчивости фактических значений функции вокруг расчетных, связанное с введением в расчет уравнения множественной регрессии i -того аргумента. Коэффициентr yx i принимает значения от 0 ( при отсутствии связи) до 1 (при наличии функциональной связи). Из формулы (30 )невозможноопределить знак коэффициента частной корреляции, поэтому его определяют по знаку углового коэффициента регрессииb i для данного аргумента. Значение коэффициента частной корреляции может отличаться от коэффициента парной корреляции не только по величине, но и по знаку для одной и той же задачи. При этом нужно помнить, что коэффициент частной корреляции является более объективной оценкой действительной взаимосвязи.
Оценка тесноты индивидуальной связи функции и аргумента при множественной регрессии с помощью коэффициента частной корреляции является более достоверной. Это соображение подтверждается уменьшением рассеяния точек относительно линии частной регрессии по сравнению с линией парной регрессии. Следовательно, даже при уменьшении коэффициента частной корреляции по сравнению с парным при частной регрессии наблюдается более тесная связь между функцией и аргументом.
Для расчета по формуле (30) необходимо рассчитать коэффициенты регрессии с помощью систем уравнений отдельно для пи п—1 аргументов. При этом значения коэффициентов будут различными.
Итак, в результате решения уравнения множественной регрессии , можно найти численные значения коэффициентов а,b1,b2,b3,...,bп. , определить показатели тесноты связи, а именно коэффициент множественнойкорреляцииR, коэффициент детерминации , коэффициенты частной корреляции r'ух i.
Несмотря на то что уравнения частной линейной регрессии характеризуют реальную взаимосвязь функции иi-того аргумента с большей достоверностью, чем уравнения парной регрессии, они во многих случаях не удовлетворяют исследователей. Недостаток уравнений частной линейной регрессии заключается в том, что анализируемая зависимость представляется в виде прямой. В действительности, большинство взаимосвязей параметров металлургических процессов имеет криволинейный характер. Любое техническое мероприятие тем эффективней, чем хуже абсолютные исходные показатели.
Для повышения достоверности взаимосвязей параметров технологического процесса необходимо определить уравнения частной криволинейной регрессии. Рассмотрим несколько способов такого определения.
ЧАСТНАЯ КРИВОЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ НА ОСНОВЕ МНОЖЕСТВЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ
Для упрощения рассмотрим задачу, в которой фигурируют два аргумента ( x1 и x2) и функция у. Рассчитаем уравнениемножественной линейной регрессии, т. е. определим численные значения коэффициентов а,b1 и b2
Найдем уравнения частной криволинейной регрессии. Например, чтобы получить уравнение частной регрессии упоx2, нужно исключить влияние на уаргументаx1. Для этого можно использовать следующий прием: каждое значение функции ув таблице исходной информации нужно скорректировать на величину отклонения первого аргумента от своего среднего, пользуясь для этого найденным угловым коэффициентом регрессииbi.Тогда каждое скорректированное значение функцииу' будет равно:
y'j = y j- (x1j-Xj )b1, ( 31 )