Фабулы и повороты сюжета исторических романов, улики и намеки детективных рассказов — все это имеет свои математические аналогии. Поясним примером: многое из теории метрических пространств могло бы быть развито как «подсюжет» в какой-нибудь книге по общей топологии в виде скромных замечаний, заключенных в скобки фраз и иллюстративных упражнений. Такая организация материала в противовес неумолимой общности дала бы читателю прочные обоснованные мотивировки и более глубокое понимание без видимых дополнительных усилий. А вот пример по поводу детективных намеков: единственное слово, впервые упомянутое за несколько глав до своего определения, а потом повторяемое со все более пространными комментариями по мере того, как приближается его формальное представление, может незаметно и подсознательно подготовить восприятие. Такая процедура может серьезно помочь читателю. В то же время и значительно облегчить формальную работу автора, которому, правда, придется сильно увеличить усилия мысли, затрачиваемые на организацию неформального текста. Игра стоит свеч. Если вы работаете восемь часов, чтобы спасти пять минут читательского времени, то вы сберегаете более восьмидесяти человеко-часов на каждую тысячу читателей, и ваше имя будет благословенно во многих факультетских коридорах. Но не забывайте: для эффективного использования подсюжетов и намеков необходимо нечто очень похожее на спиральный план организации.
Последний по порядку и важности, но все равно очень важный аспект, который стоит упомянуть здесь, состоит в правильной подаче математического текста с чисто логической точки зрения. Немногому здесь один математик может научить другого; следует лишь предупредить о том, что с увеличением размеров работы ее сложность растет в устрашающей пропорции. Однажды я писал книжку страниц на 300; на одном из этапов работы у меня оказалось 1000 листов бумаги с каким-нибудь математическим утверждением на каждом: с теоремой, леммой или даже второстепенным замечанием, и все это с полными доказательствами. Листы были перенумерованы как попало. Моя забота состояла в указании на каждом из них номеров листов с теми утверждениями, которые логически должны были предшествовать данному; после этого я располагал листы в линейном порядке так, чтобы ни один из них не следовал за тем, на котором упоминался. По-видимому, эта проблема имеет несчетное множество решений; трудность состояла в том, чтобы выбрать из них наиболее эффективное и приятное.
8. Пишите хорошим английским языком. Все, что я говорил до сих пор, относилось к стратегии письма; пора обратиться к локальным аспектам предмета.
Почему автор не имеет права написать слово «continuous» 4 так: «continous»? Ведь наверняка он не будет неверно понят, а в таком написании буквой меньше... Так почему же? С ответом, вероятно, согласится любой, даже самый вольномыслящий из современных лингвистов: как только вводится такая «реформа», происходит вынужденное отвлечение внимания и поэтому — лишняя трата времени, которой не стóит полученная «экономия». Случайный пример, вроде только что приведенного, возможно, не слишком убедителен. Большее количество читателей согласилось бы с тем, что целая книга, написанная по реформированному правописанию (согласно которому, например, следует писать «izi» вместо «easy» 5), едва ли оказалась бы эффективным инструментом для образования 6. Какими бы не были преимущества реформы правописания, но слова, написанные с несоблюдением принятых словарных стандартов, мешают книге оказать должное воздействие: они задерживают, отвлекают внимание, иногда смущают и раздражают читателя.
Речь зашла здесь о правописании не потому, что в нем заключается распространенная или серьезная опасность для большинства авторов: на en. примере можно показать и подчеркнуть гораздо более существенные вещи, Мне хотелось бы убедить вас, что важно писать математические книги (а также статьи, письма, лекции) хорошим английским языком, где слово хороший означает «соответствующий общепринятым современным стандартам правописания». (Французские, японские или русские авторы! Пожалуйста, подставьте вместо слова «английским» слово «французским», «японским» или «русским».) Я вовсе не считаю, что стиль должен быть педантичным, или тяжеловесным, или формальным, или казенным, или красочным, или академическим жаргоном. Я убежден, что он должен быть совершенно ненавязчивым, как хорошее музыкальное сопровождение в фильме; он должен быть таким, чтобы читатель мог двигаться вперед без осознанных или неосознанных помех, вызванных формой сообщения, а не его содержанием.
Требования хорошего английского стиля включают в себя грамматическую правильность, выбор точных слов, корректную пунктуацию и, вероятно. самое главное, — соответствие здравому смыслу. Существует разница между «that» и «which», между «less» и «fewer»; хороший автор математического текста должен знать такие вещи. Читатель, возможно, не в состоянии определить эту разницу, но сотня страниц, написанных неправильным разговорным языком, производит накапливающийся разрушительный эффект, который наверняка не входил в намерения автора. Словари Фаулера [4], Роже [8] и Вебстера [10] стоят на моей полке сразу за Данфордом–Шварцем; конечно, они находятся под рукой у любого другого автора. Маловероятно, что одна пропущенная запятая превратит правильное доказательство в неверное, но постоянное пренебрежение такими мелочами вырастает в крупный недостаток.
Английский язык может служить прекрасным и могучим средством передачи интересной, ясной и совершенно точной информации. Я уверен, что то же самое верно для французского, японского или русского языков. Для автора текста так же важно непринужденно пользоваться этим инструментом, как для хирурга — свободно владеть скальпелем. Евклида можно объяснить малограмотным и корявым языком; воспаленный аппендикс можно удалить ржавым карманным ножиком. Однако пострадавший, даже если он не осознает причины своих страданий, наверняка предпочел бы лучшее обращение с собой.
Все математики, даже совсем юные студенты, только начинающие математическое образование, знают, что математика имеет свой собственный язык (фактически, она сама является языком) и автор обязан владеть грамматикой и лексикой этого языка так же свободно, как своего родного. Краткосрочных курсов языка математики не существует; наверное, единственный способ изучить его — прожить с ним годы. Нижеследующие соображения. конечно, не составляют (да и не могут составить) математического аналога Фаулера, Роже или Вебстера. Однако они могут подсказать дюжину-другую тысяч пунктов, которые следовало бы включить в такие словари.
9. Честность — лучшая политика. Хорошим математическим языком нужно пользоваться для того, чтобы облегчить читателю понимание предмета и, может быть даже, сделать процесс усвоения радостным. Такой стиль ценен не дешевым блеском, а предельной ненавязчивостыо. Цель в том, чтобы сгладить путь читателя, предвидеть и предвосхищать его трудности. Ясность — вот что желательно, а не педантизм; понимание, а не суетливость по пустякам.
Категоричность этих требований, возможно, и необходимая, может быть неверно понята; спешу уточнить. Когда я говорю, что нужно избегать педантизма и суетливости, я вовсе не имею в виду строгость и аккуратность; я верю, что одно другому не противоречит и не помышляю советовать молодому автору мошенничать, пусть самую малость и очень остроумно, или заниматься затушевыванием трудностей. Иногда, например, результат получается после громоздких вычислений и ничего лучше придумать не удается. В таком случае долг автора — публично выполнить эти вычисления; самое большее, что он может сделать для облегчения — выразить свое сострадание читателю какой-нибудь фразой вроде: «К сожалению, единственное известное доказательство состоит в следующем громоздком вычислении».
А вот пример того, что, на мой взгляд, является не вполне честным. Допустим, что в каком-то пункте изложения, бойко доказав некоторое предложение p, вы вдруг захотели сказать: «Заметим, однако, что из p не следует q», а потом, решив, что вы уже здóрово все объяснили, благополучно перешли к другим вещам. Ваши побуждения могут быть при этом совершенно чистыми, однако читатель все равно вправе чувствовать себя обманутым. Если бы ему было все известно о вашем предмете, он не читал бы написанного вами; вполне возможно, что указанное вами отсутствие импликации ему не ясно. Что это — очевидно? (Тогда так и скажите.) Или позднее будут даны контрпримеры? (Тогда пообещайте их теперь же.) Может быть, это — стандартный факт, имеющийся в литературе, но для ваших нынешних целей несущественный? (Дайте ссылку.) А может быть, страшно сказать, вы попросту безуспешно пытались вывести q из p, да так и не узнали, следует ли q из p на самом деле? (Немедленно признайтесь!) В любом случае: окажите читателю полное доверие.
Нет ничего плохого в использовании многократно осмеянных оборотов «очевидно» и «легко видеть», однако, есть минимальные ограничения, которые следует соблюдать. Написав, что нечто очевидно, вы наверное так и думали. Но когда, спустя месяц, или два, или шесть вы вынули рукопись и перечитали ее заново, вы по-прежнему продолжаете так считать? (Дозревание в течение нескольких месяцев всегда улучшает рукописи.) Когда вы объясняли это другу или на семинаре, было ли это место воспринято как очевидное? (Или кто-нибудь задавал вопросы и усаживался ворча, после ваших уговоров? Вы его убедили или запугали?) Ответы на эти риторические вопросы ограничивают использование слова «очевидно». Есть еще и другое правило, главное; его знает каждый; нарушение этого правила — самый частый источник математических ошибок; удостоверьтесь в том, что «очевидное» — верно.