Существуют и другие неуклюжие и не помогающие воображению способы употребления букв; вот примеры: «CW-комплексы», «CCR-группы». Курьез, доставляющий вероятно, верхнюю границу во множестве бесполезных использовании букв, встречается в книге Лефшетца [6]. Символ xip обозначает там цепь размерности р (нижний значок, таким образом, — это индекс), тогда как через xpi обозначается коцепь размерности р (так что индекс здесь — это верхний значок).
Вопрос: что такое x32?
С течением времени все больше и больше букв оказываются замороженными. Стандартные примеры: е, i, p и, конечно, 0, 1, 2, 3, … (Кто осмелится написать: «Пусть 6 — некоторая группа»?) Несколько других букв — почти заморозились: многие читатели почувствовали бы обиду, если бы n обозначало комплексное число, e — положительное целое число, z — топологическое пространство. (Кошмар математика: последовательность ne, стремящаяся к 0, когда e стремится к бесконечности.)
Мораль: не вносите своего вклада в косность. Думайте об алфавите. Это скучновато, но результат того стоит. Чтобы спасти время и уберечься от волнений в дальнейшем, подумайте с часок над алфавитом теперь; после этого начинайте писать.
6. Пишите по спирали. Лучший и, возможно, единственный способ писать — писать по спирали. Это означает, что главы пишутся и переписываются в следующем порядке: 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4 и т.д. Скажем, вы полагаете, что вам уже известно, как писать главу 1; но после того, как вы это сделали и перешли к главе 2, вам стало ясно, что глава 2 могла бы быть лучше, если бы глава 1 была сделана иначе. Ничего не поделаешь — возвращайтесь назад, напишите ее по-другому, улучшите главу 2 и затем — с богом в главу 3. И, конечно, вы уже знаете, что произойдет дальше: глава 3 обнаружит слабость первой и второй глав; ничего не поделаешь — и т.д. и т.д. и т.д. Такова почти очевидная и зачастую неизбежная идея, но она помогает будущему автору осознать заранее, с чем он столкнется, учесть, что то же явление будет встречаться не только на уровне глав, но и на уровне параграфов, абзацев, фраз и даже слов.
Первым шагом в процессе написания и многократного переписывания книги является написание само по себе. Если есть тема, аудитория, набросок (и, не забудьте! алфавит), начинайте писать книгу и ничто да не остановит вас. Ничто так не вдохновляет написать хорошую книгу, как плохая книга. Когда у вас в руках первый эскиз книги, написанный по спирали, нацеленный на некоторую аудиторию и подкрепленный таким подробным наброском, какой вам оказался по силам, ваша книга более чем наполовину готова.
Спиральный план ответствен за бóльшую часть работы по многократному переписыванию, но не за всю работу. В первом наброске каждой главы изливайте душу, пишите быстро, забыв о правилах, с ненавистью или с гордостью, будьте бессвязным, «странным», — если это вам нужно, — неясным, неграмотным, но только не отрывайтесь от работы. Однако когда возникает нужда в следующем варианте, все равно, в который раз, — не редактируйте то, что уже готово, — пишите заново. Соблазнительно воспользоваться красным карандашом для указания вставок, вычеркиваний и перестановок; в моей практике, однако, это приводит к катастрофическим ошибкам. Против человеческой нетерпеливости и общераспространенной склонности к собственным словам красный карандаш — слишком ненадежное оружие. Итак, вы смотрите на первый эскиз, который любой читатель — только не вы — найдет невыносимым; вы должны безжалостно править и вычеркивать. Переписать — это значит написать заново каждое слово.
Я не хочу сказать, что в книге из десяти глав первую главу следует переписать десятикратно, но три-четыре раза — наверняка. Скорее всего, главу 1 придется переписать буквально заново, едва закончив главу 2 и, очень может быть, еще хоть раз где-то после главы 4. Десятую главу, к счастью, вам придется переписать лишь однажды.
Моя собственная практика может дать вам представление об общем количестве переписываний, о которых идет сейчас речь. После написанного по спирали первого наброска я обычно переписываю всю книгу, а потом добавляю необходимый для читателя вспомогательный аппарат (список предварительных требований, предисловие, алфавитный указатель и оглавление — это уже машинальная работа). Затем я переписываю все вновь, на этот раз на пишущей машинке или, во всяком случае, настолько аккуратно и красиво, чтобы машинистка без математического образования могла без затруднений использовать этот вариант (третий, в некотором смысле) для подготовки «окончательной» машинописной рукописи. Переписывание на третьем заходе минимально; оно обычно ограничивается изменениями отдельных слов, или, в худшем случае, отдельных фраз. Третий вариант — это первый вариант, который видят другие. Я прошу друзей прочитать его, его читает моя жена, мои студенты могут читать отдельные его части, и — это лучше всего! — студент младшего курса, побуждаемый к хорошей работе приличной оплатой, приглашается быть безжалостным критиком написанного.
Изменения, в которых возникает необходимость после третьего варианта, если повезет, можно вносить красным карандашом; если не повезет, треть страниц из-за этого нужно будет перепечатать. «Окончательная» машинописная рукопись основана на отредактированном третьем варианте и, после того как она готова, ее читают и правят, и правят заново. Приблизительно через два года после начала работы (два рабочих года! Они могут быть намного длиннее двух календарных лет...) книга отсылается в издательство. Потом начинаются новые трудовые муки; однако это уже совсем другая история.
Архимед научил нас, что много раз понемногу — это много (говоря языком пословицы, капля камень долбит). Я убежден, что когда выполняется какая-нибудь большая работа, в частности, пишется книга, верно и обращение этого архимедова принципа: единственный способ написать большую книгу — писать понемножку, но с неослабевающим упорством каждый день без исключения, без отпуска. Хороший способ сохранять производительность труда — заканчивать каждый день, заправившись горючим на завтра. С чего вы начнете завтра? Что будет в следующем параграфе? Как его назвать? (Я рекомендовал бы подыскивать возможно короткие названия для каждого раздела до или после того как он написан; даже если вы не собираетесь печатать названия разделов. Цель такого занятия — в проверке того, насколько хорошо спланирован параграф: если вы не можете его озаглавить, возможно, он не имеет единого, цельного сюжета.) Иногда первую завтрашнюю фразу я записываю сегодня; некоторые авторы начинают сегодняшнюю работу проверкой и переписыванием вчерашней последней страницы. Во всяком случае, заканчивайте каждую порцию работы на подъеме, а между порциями давайте своему подсознанию какую-нибудь солидную пищу. Поразительно, как эффективно удается перехитрить себя таким способом; техника подготовки достаточна для преодоления естественного человеческого отвращения к творческой работе.
7. Занимайтесь расположением материала постоянно. Даже в том случае, если исходный план расположения материала в вашей книге разработан до мелочей и хорош (и, особенно, если это не так), важнейшая забота о порядке изложения не ослабевает и после того как вы начали писать; она сохраняется, пока вы пишете книгу и даже после.
Спиральный план написания и спиральный план выбора расположения материала идут рука об руку; последний часто (а может быть и всегда) приложим к математическим сочинениям. Происходит это так. Вы начинаете с чего-то, что избрали своим основным понятием, скажем, векторных пространств, — и действуете по всем правилам: даете мотивировки, определение, примеры и контрпримеры. Таков параграф 1. Во втором параграфе вы вводите первое, связанное с основным, понятие, которое вы собираетесь изучать, скажем, — линейную зависимость, и опять действуете по всем правилам: даете мотивировки, определение, примеры и контрпримеры, а потом — и вот здесь-то самое главное — вы пересматриваете настолько подробно, насколько можете, параграф 1 с точки зрения параграфа 2. Ну, скажем, какие примеры линейно зависимых и независимых множеств легко получаются из примеров векторных пространств, введенных в §1? (Здесь, между прочим, возникает другая понятная причина, по которой писать приходится по спирали: во втором параграфе вам могут прийти в голову примеры линейно зависимых и независимых множеств в тех векторных пространствах, которые вы забыли преподнести в качестве примеров в §1). В третьем параграфе вы вводите следующее понятие (какое именно — следовало тщательно обдумать раньше, но чаще им оказывается то, чего требует крутой поворот мысли, — это опять-таки подтверждает необходимость писать спирально) и после его обычной обработки пересматриваете §1 и §2 с точки зрения нового понятия. Система работает чудесно! Делать это — легко, весело, а результат — приятно читать: читателю помогают крепко сработанные вами строительные леса, даже если он не рвется сам осмотреть опоры и прощупать стыки.