Исторические проблемы математики. Число и арифметическое действие (стр. 3 из 3)

Рациональное и иррациональное числа есть выражение “абсолютно точного значения” координаты. Выражаемое тоже дробью, но уже “бесконечной”, в соответствии с определением “точности измерений”. Здесь тоже нет никаких “новых чисел” [ 8 ].

Комплексные числа есть пара чисел, являющихся множителями вектора, одно из которых не вызывает его угловых поворотов, другое же вызывает [ 9 ] .

Их тоже, конечно, можно назвать “числом особого рода”, но с точки зрения логики оснований для этого решительно никаких, кроме разве что экономии терминов, имеющих совершенно не совпадающий смысл.

Так в принципе можно назвать “тоже числом” что угодно, хоть “Войну и мир” Л. Толстого, тоже определяемой парой чисел, например, слов и букв.

А именованные числа есть просто результат измерения разными эталонами. Здесь тоже нет никаких “новых чисел”.

Поэтому определение чисел как наименований ИНС, касающихся наличия ИНО, является всеобщим и полным. Дающим окончательное их понимание. Никаких других чисел, кроме указанных в данном определении, не существует. В математике они называются “натуральными числами”.

Понятие чисел, будучи исходным или первичным, действительно является довольно простым. Однако же не настолько, чтобы считать, что числа и вовсе не требуют или не имеют определений.

Использование одного термина для обозначения логически разнородных понятий, конечно же, затрудняет понимание. Создавая впечатление не существующей глубины, недоступной уму обычного человека. Вызванное простым нарушением логики построения.

Система счисления

Числа являются просто наименованиями ИНС. Поэтому их изучение сводится к разработке способа присвоения наименований. Их может быть всего два – произвольное и непроизвольное присвоения. Причем применяются сразу оба. Образуя комбинированный способ, именуемый системой счисления СС.

В состав ИНС всегда может быть включен один или не один дополнительный ИНО, в свою очередь образующий некоторую ИНС. Различия ИНС, получаемых посредством такого соединения других ИНС, могут быть бесконечны.

Проблемой СС является именно это бесконечное разнообразие ИНС, требующее такого же разнообразия наименований. Теоретически нетрудно вообразить это бесконечное разнообразие. Однако его практическое осуществление невозможно, т.к. такой список не может быть окончен, не то чтобы выучен. Поэтому вся бесконечность различных ИНС должна охватываться конечным набором различных наименований. Возможности памяти тоже ограничены и могут потребовать небольшого числа различных наименований. Поэтому в письменной записи применяется всего лишь десять произвольных наименований: 0, 1, 2, …, 9, хотя их может быть и меньше, например, 0, 1, или больше десяти.

Прочие наименования являются описаниями способа получения ИНС.

Они образуются следующим образом.

Произвольные наименования используются неоднократно для обозначения разных ИНС. Эти ИНС различаются между собой не наличием ИНО, которое при совпадении произвольных наименований, по определению, одинаково, а самими ИНО.

Исходный ИНО является произвольным, все остальные не произвольны и образованы ИНС.

Эти ИНС каждый раз образованы наибольшей из предыдущих ИНС, включающей один дополнительный ИНО.

ИНС 1 рода или ИНС1 есть ИНС, образуемая ИНО 1 рода (ИНО1), который может быть произвольно выбираемым объектом. ИНС1 имеет произвольно задаваемые наименования: 0, 1, 2, 3, …, 9.

ИНС 2 рода или ИНС2 образована ИНО2, в свою очередь являющимся ИНС1 = 9ИНО1 + 1ИНО1 (“+” означает включение, “=” - тождественность) или ИНО2 = (9 + 1) ИНО1.

ИНС2 имеет те же произвольные наименования, что ИНС1: 0, 1, 2, 3, …, 9.

ИНС 3 рода (ИНС3) есть ИНС, образованная ИНО3 = (9 + 1) ИНО2. В свою очередь ИНС3 носит те же произвольно задаваемые наименования, что ИНС1, ИНС2: 0, 1, 2, 3, …, 9.

ИНС4 есть ИНС, образованная ИНО4 = (9 + 1) ИНО3, и т.д.

Таким образом, используя всего 10 исходных произвольных наименований, относящихся к разным ИНС1, ИНС2 и т.д. можно получить сколько угодно составных наименований произвольно задаваемым ИНС, различаемым между собой.

Итак, кроме произвольных наименований в пределах от 0 до 9 имеются составные наименования.

Составные наименования является описаниями способа получения ИНС.

Арифметическое действие

Одна и та же ИНС может быть получена разными способами, имея при этом разные описания.

Например, 7 + 5 или 12. В первом случае ИНС получена объединением ИНС1= 7 ИНО1 с ИНС1 = 5 ИНО1, а во втором - объединением ИНС2 = 1 ИНО2 с ИНС1 = 2 ИНО1.

В итоге одна и та же ИНС имеет разные описания, определяемые способом ее получения. Что и выражается равенством: ИНС = 7 + 5 = 12.

В зависимости от способа ее получения, любая ИНС может иметь не одно, а множество разных описаний.

Как опознать такую ИНС, имеющую разные описания, используемые в качестве наименований?

Ответ такой: из всех возможных только одно описание принимается в качестве стандартного описания. По которому только ИНС и опознается. Все прочие описания являются нестандартными. Они могут свободно использоваться для описания фактического способа получения ИНС. Однако при этом сама ИНС считается не опознанной. Для ее опознания необходимо выполнить переход от произвольного нестандартного описания, к стандартному описанию.

Такой переход от нестандартного описания к стандартному называется арифметическим действием.

Это относится к любому действию - сложению, вычитанию, умножению, делению, возведению в степень или извлечению корня. Хотя одни из них и могут формально определяться через другие, например, вычитание – как действие, обратное сложению. Но первое, которое, по мнению математика, “не может быть определено формально”, - согласно указанному определению.

Стандартное описание

Стандартное описание составляется по следующим правилам:

Произвольные наименования ИНС1, ИНС2, ИНС3 и т.д. располагаются в определенной последовательности - справа налево.

При наличии ИНС, образованной ИНО2, ИНО3 и т.д. все ИНС, образованные предыдущими ИНО должны быть указаны.

Крайняя левая ИНС не может быть равна нулю.

ИНС, образованная только одной ИНС1, может быть равна нулю.

Каждая ИНС1, ИНС2 и т.д. может использоваться в описании однократно.

Каждая ИНС1, ИНС2 и т.д. может входить в состав описания ИНС посредством только одного действия – включения, выражаемого знаком “+”.

Только лишь в этом случае обозначения всех ИНО1, ИНО2, …, образующих описание ИНС, могут быть опущены вместе со знаками их включения в состав задаваемой ИНС без нарушения ее понимания.

Нестандартные описания

Прочие описания ИНС, задающие различные способы ее получения, являются нестандартными. Они выражаются арифметическими действиями вычитания, умножения, деления, возведения в степень или извлечения корня. Или сложения, в случае, если какая-нибудь ИНС1, ИНС2 и т.д. использована в описании более одного раза.

Для опознания ИНС любое нестандартное описание должно быть приведено к стандартному описанию, выражаемому через произвольные наименования ИНС1, ИНС2 и т.д. В этом и состоит смысл арифметических действий.

Поясняющие примеры

1. Описание ИНС = 7 ИНО1+ 5ИНО1 является не стандартным, т.к. в нем ИНС1 встречается больше одного раза. Здесь сами обозначения ИНО1 могут быть опущены без ущерба для понимания, а описание сокращено до ИНС = 7 + 5. Но знак включения “+” не может быть опущен, т.к. это описание не стандартное.

2. Описание этой же ИНС = 1ИНО2 + 2 ИНО1 является стандартным. В нем могут быть опущены без ущерба для понимания как обозначения самих ИНО1, ИНО2, так и знак “+” включения образуемых ими ИНС1, ИНС2 в состав описываемой ИНС.

Поэтому описание ИНС может быть без ущерба для понимания максимально сокращено до ИНС = 12.

3. Описание этой же ИНС = 2 ИНО1 + 1ИНО2, выражающее возможный реальный способ ее получения, является нестандартным, т.к. в нем нарушена правильная последовательность расположения ИНС1, ИНС2. Поэтому в ней должен быть изменен порядок, после чего она получает стандартное описание, выражаемое сокращенной записью 12.

4. Описание ИНС = 1ИНО2 является нестандартным, т.к. в нем отсутствует ИНС, образуемая ИНО1. Стандартное описание должно иметь вид ИНС = 1 ИНО2 + 0 ИНО1, после чего могут быть опущены без ущерба для понимания как обозначения самих ИНО1, ИНО2, так и знак включения образуемых ими ИНС1, ИНС2 в состав описываемой ИНС. Это дает стандартное сокращенное описание ИНС = 10.

5. Описание ИНС = 7 ИНО1 – 5 ИНО1 является нестандартным, т.к. она образована не посредством включения ИНС1, обозначаемого знаком “+”, а изъятия, обозначаемого знаком “-”. Ее стандартное произвольное наименование ИНС = 2.

То же относится к операциям умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня. Описания ИНС, выражаемые посредством указанных операций, являются нестандартными. Требующими приведения ИНС для ее опознания к стандартному описанию. В этом и состоит смысл арифметических действий.

Список литературы

М.Я. Выгодский "Справочник по элементарной математике".

И. Кант “Критика чистого разума”.

А.А. Кириллов “Что такое число?” (Современная математика для студентов) ВО “Наука” - М. “Физматлит” 1993.

В.Н. Молодший “Основы учения о числе в XVIII и начале XIX века”. Пособие для учителей. Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР. Москва, 1963, с. 33 – 35.

Н.А. Принцев “Арифметика” Учебное пособие для 5 – 6 классов вечерней (сменной) средней общеобразовательной школы. Издательство пятое. Изд. “ПРОСВЕЩЕНИЕ”, Москва, 1966, тир. 170 000 экз. Суммарно полмиллиона экземпляров.

И.Н. Шевченко “Арифметика”. Учебник для 5 – 6 классов восьмилетней школы. Издательство “Просвещение”, Москва, 1965.