Пр-р: если ставка сл-ных % равна r и инвестор положил в банк первоначальный вклад равный Р причем % начисляются m раз в год (r- годовая ставка) тогда через n- лет наращенная сумма нач-ся по ф-ле сл. % при m кратном их начислению.
Sn=P(1+r/m)^mn (5) Предположим теперь % нач-ся непрерывным образом, т.е. число периодов нач-ния неограничено ув-ся. Мат-ки это соотв-ет тому, что выражение (5) надо р-равать, как общий член посл-ти Xm, а непрерывному нач-нию соот-ет наращенная ф-ция lim(n®¥)P(1+r/m)^mn=Pe^rn
Lg(e)x имеет спец. Обозначение lnx.
Принцип вложенных отрезков
Пусть на числовой прямой задана посл-ть отрезков [a1,b1],[a2,b2],…,[an,bn],…
Причем эти отрезки удовл-ют сл. усл.:
1) каждый посл-щий вложен в предыдущий, т.е. [an+1,bn+1]Ì[an,bn], "n=1,2,…;
2) Длины отрезков ®0 с ростом n, т.е. lim(n®¥)(bn-an)=0. Посл-ть с указанными св-вами наз-ют вложенными.
Теорема Любая посл-ть вложенных отрезков содержит единную т-ку с принадлежащую всем отрезкам посл-ти одновременно, с общая точка всех отрезков к которой они стягиваются.
Док-во {an}-посл-ть левых концов отрезков явл. монотонно не убывающей и ограниченной сверху числом b1.
{bn}-посл-ть правых концов монотонно не возрастающей, поэтому эти посл-ти явл. сходящимися, т.е. сущ-ют числа с1=lim(n®¥)an и с2=lim(n®¥)bn => c1=c2 => c - их общее значение. Действительно имеет предел lim(n®¥)(bn-an)= lim(n®¥)(bn)- lim(n®¥)(an) в силу условия 2) o= lim(n®¥)(bn-an)=с2-с1=> с1=с2=с
Ясно что т. с общая для всех отрезков, поскольку "nan£c£bn. Теперь докажем что она одна.
Допустим что $ другая с‘ к которой стягиваются все отрезки. Если взять любые не пересекающиеся отрезки с и с‘, то с одной стороны весь «хвост» посл-тей {an},{bn} должен нах-ся в окрестностях т-ки с‘‘(т.к. an и bn сходятся к с и с‘ одновременно). Противоречие док-ет т-му.
Принцип вложенных отрезков
Т-ма. Любая пос-ть вложенных отрезков содержит единств. т-ку сÎвсем отрезкам посл-ти одновременно, к которой они стягиваются.
Док-во. {an} пос-ть левых концов явл. монотонно неубыв. И огран. свеху числом b1; посл-ть правых концов {bn} монотонно не возр. и ограничена снизу а1, поэтому эти посл-ти сходящ., т.е. $числа c1=lim(n®¥)an и c2=lim(n®¥)bn.
Докажем что с1=с2 и сл-но их общая знач. может обозначить через с. Действ. имеется предел lim(n®¥)(bn-an)= lim(n®¥)bn®lim(n®¥)an=c2-c1=c ясно что с общая для всех отрезков поскольку для "nan£c£bn. Осталось доказать единство данной т-ки (от противного). Допустим есть c‘¹c к которой стягиваются все отрезки. Если взять любые пределы окр. точек с и с‘, то с одной стороны весь «хвост» {an}, {bn}, должен нах-ся в окрестности т-ки с, а др. в с‘, т.к. an и bn®c и c‘ одновр. Противореч. док-ет т-му.
7.Ф-ции одной переменной
Если задано правило по которому каждому значению перем. Величины х из мн-ва Х ставится соответствие 1 значению перем. У то в этом случае говорят, что задана ф-ция 1-й переменной.
Y=f(x); x –аргумент независ. перемен., y- зав. пер.
X=Df=D(f) y={y;y=f(x),xÎX} x1ÎX1, y1=f(x1)
1) аналит. способ; 2)Табличный способ;
3) Графический способ;
4)Min и max ф-ции: ф-ция f(x) ограничена, если огран. ее мн-во знач У, т.е. $m,M: m£f(x)£M "xÎX
m£f(x) "xÎX => огр. сн.; f(x)£M, "xÎX=> огр. св.
Обратные ф-ции
Если задано правило по которому каждому значению yÎY ставится в соответствие ® ед. знач. х, причем y=f(x), то в этом случае говорят, что на мн-ве Y определена ф-ция обратная ф-ции f(x) и обозначают такую ф-цию x=f^-1(y).
Предел ф-ции в точке
Свойства предела ф-ции в точке
Односторонние пределы ф-ции в т-ке:
Предел ф-ции в т-ке
Предел и непрерывность функции
Предел. Односторонний предел.
Предел ф-ции в точке
y=f(x) X
опр. " {xn} ÌX, xn®x0
f(xn)®A,=> f(x) в т. x0 (при , xn®x0) предел = А
А=lim(x®x0)f(x) или f(x)®A при x®x0
Т-ка x0 может Î и Ï мн-ву Х.
Свойства предела ф-ции в точке
1) Если предел в т-ке сущ-ет, то он единственный
2) Если в тке х0 предел ф-ции f(x) lim(x®x0)f(x)=A
lim(x®x0)g(x)£B=> то тогда в этой т-ке $ предел суммы, разности, произведения и частного. Отделение этих 2-х ф-ций.
а) lim(x®x0)(f(x)±g(x))=A±B
б) lim(x®x0)(f(x)*g(x))=A*B
в) lim(x®x0)(f(x):g(x))=A/B
г) lim(x®x0)C=C
д) lim(x®x0)C*f(x)=C*A
Док-во xn®x0, $lim(x®x0)f(x)=A по опр. f(xn)®A {f(xn)}
Односторонние пределы ф-ции в т-ке:
Опр. А - предел ф-ции f(x) справа от точки х0, если f(x)®A при х®х0, и x>x0
Формально это означает, что для любой посл-ти {xn}®x0, вып-ся условие xn>x0, f(x)®A. Обозначим f(x0+0) и f(x0+) lim(x®x0+0)f(x)®
И также с минусами.
Признак $ предела
Т-ма Для того чтобы f(x) имела предел в т-ке х0 необх., тогда в этой т-ке ф-ция f имеет совпадающ. Между собой одностор. предел(f(x0+)=f(x0-) (1), которые равны пределу ф-ции.
Док-во. f(x) имеет в т-ке х0 предел А, тогда f(x)®A независимо от того приближается ли х к х0 по значению больше х0 или меньше это означает равенство (1)
Предел ф-ции в т-ке
Число А наз-ся пределом ф-ции в т-ке х0 если "e>0 найдется такое число В>0, для всех х отличных от х0 и (х-х0)<0 должно ½f(x)-A½<e
"e >0 из ½х-х0½<d должно быть
Пусть ½f(x)-x0½<e, если d=e, то ½х-х0½<d => ½f(x)-x0½<e
Свойства пределов. Непрерывность ф-ции.
Ф-ция f(x) непрерывна в т-ке х0 если предельное значение в этой т-ке равно самому знач. в этой точке.
Предел и непрерывность функции
Пусть ф-ция f(x) определена на некотором пр-ке Х* и пусть точка х0ÎХ или х0ÏХ.
Опр. Число А наз-ся пределом ф-ции f(x) в точке х=х0, если для "e>0 $d>0 такое, что для всех хÎХ, х¹х0, удовлетвор. неравенству ½х-х0½<e, выполняется неравенство ½f(x)-A½<e.
Пример Используя определение, док-ть что ф-ция f(x)=C(C-некоторое число) в точке х=х0(х0-любое число) имеет предел, равный С, т.е. lim (x®x0)C=C
Возьмем любое e>0. Тогда для любого числа d>0 выполняется треюуемое неравенство ½f(x)-C½=½C-C½=0<e, => lim(x®x0)C=C
Свойства пределов. Непрерывность ф-ции.
Теорема. Пусть ф-ции f(x) и g(x) имеют в т-ке х0 пределы В и С. Тогда ф-ции f(x)±g(x),f(x)g(x) и f(x)/g(x) (при С¹0) имеют в т-ке х0 пределы, равные соответственно В±С, В*С, В/С, т.е. lim[f(x)±g(x)]= B±C, lim[f(x)*g(x)]= B*C, lim[f(x)/g(x)]= B/C
Теорема также верна если х0 явл. +¥, -¥, ¥
Опр. Ф-ция f(x) наз-ся непрерыной в точке х=х0, если предел ф-ции и ее значение в этой точке равны, т.е. lim(x®x0)f(x)=f(x0)
Теорема Пусть ф-ции f(x) и g(x) непрерывны в т-ке х0. Тогда ф-ции f(x)±g(x), f(x)*g(x) и f(x)/g(x) также непрерывны в этой т-ке.
10. Предел. Односторонний предел.
Опр.Числом А наз-ся предел f(x) в т-ке х0, если для любой окрестности А$ окрестность (х0):"xÎокрестности (x0) выполняется условие f(x)Îокрестности.
Теорема Все определения предела эквивалентны между собой.
Опр. Число А называется пределом ф-ции f(x) справа от т.х0(правым предело f(x0)) если f(x)®A при х®х0, х>x0
Формально это означает, что для любой посл-ти сходящейся к х0 при xn>x0 выполняется условие f(xn)®A
Запись: f(x0+o), f(x0+ ). lim(x®x0+o)f(x) где запись x®x0+o как раз означает стремление к х0 по мн-ву значений >чем х0.
Опр. Предел слева аналогично и исп-ся запись f(x0-o);f(x0-)
Теорема. Для того чтобы ф-ция f(x) имела предел в точке х0 необходимо и достаточно когда в этой т-ке ф-ция имеет совпадающие между собой одностороние пределы (f(x0+)=f(x0-)) значение которые равны пределу ф-ции, т.е. f(x0+)=
f(x0-)=lim(x®x0)f(x)=A
Док-во
а) допустим ф-ция имеет в точке х0 предел равный А, тогда f(x)® А независимо от того, приближается ли х к х0 по значению > x0 или <, а это означает равенство 1.
б) пусть односторонние пределы сущ-ют и равны f(x0+)=f(x0-) докажем, что $ просто предел. Возьмем произвольную {xn}®х0 разобьем если это необходимо эту последовательность на две подпоследовательности.
1. члены которые нах-ся слева от х0 {x‘n};
2. члены которые нах-ся справа от х0 {х‘‘n};
x’n®x0-ox’’n®x0+o, т.к. односторонние пределы $ и равны, то f(x‘n)®A и f(x‘‘n)®A поэтому посл-ть значений ф-ций {f(xn)} которая также след. справа:
1){f(x‘n)} и {f(x‘‘n)} имеет f(xn)®A на основании связи между сходимостью последовательностей
Пределы ф-ции на бесконечности
Два замечательных предела
Б/м ф-ции и их сравнения
Непрерывные ф-ции. Непрерывность.
11. Пределы ф-ции на бесконечности
Они нужны для исследования поведения ф-ции на переферии.
Опр. ф-ция f(x) имеет предел число А при x®+¥ если " {xn} которая ®к +¥ соответствующая ей последовательность {f(xn)}®A в этом случае мы пишем lim(x®+¥)f(x)=A. Совершенно аналогично с -¥.
Опр. Будем говорить что ф-ция f(x) имеет пределом число А при x®¥ {f(xn)} сходится к А
Бесконечные пределы ф-ции
Вводятся как удобные соглашения в случае, когда конечные пределы не $-ют.
Р-рим на премере:lim(x®o+)(1/x)
Очевидно не сущ-ет, т.к. для " {xn}®+о посл-ть {f(xn)}={1/xn}, а числ. посл-ть сводятся к +¥.
Поэтому можно записать lim(x®o+)1/x=+¥ что говорит о неограниченных возрастаниях предела ф-ции при приближении к 0.
Аналогично с -¥.
Более того символы +¥ и -¥ употребляются в качестве предела ф-ции в данной т-ке лишь условно и означают например, что если {xn}®x0 то {f(xn)}®±¥,¥
12. Два замечательных предела
1) lim(x®0)sin/x=1
2) Явл. обобщением известного предела о посл-ти. Справедливо сл. предельное соотношение:
lim(n®¥)(1+1/n)^n=e (1)
lim(n®0)(1+x)^1/x=e (2)
t=1/x => при х®0 t®¥ из предела (2) => lim(x®¥) (1+1/x)^x=e (3)
Док-во
1)x®+¥nx:n=[x] => n£x<n+1 => 1/(n+1)<1/x<1/n
Посколько при ув-нии основания и степени у показательной ф-ции, ф-ция возрастает, то можно записать новое неравенство (1/(n+1))^n£(1+1/n)^x£ (1+1/n)^(n+1) (4)