Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине (стр. 8 из 11)

Таким образом, мы предполагаем, что произведение матриц в терминах блоков, полученных при соответствующих разбиениях сомножителей, формально совпадает с произведением этих матриц в терминах скалярных элементов. Покажем это на примере:

Упражнение1. Пусть

, ,

, ,

Это проверяется прямым вычислением

Теорема (1)

Пусть матрица

из имеет блоки , где матрица, , и матрица из с блоками размера . Тогда имеет блоки

Доказательство. Отметим, что каждое произведение

существует и является матрицей. Следовательно, существует и будет матрицей. Для фиксированного каждое имеет столбцов и для фиксированного каждое имеет строк, откуда следует, что блоки некоторой матрицы .

Пусть

некоторый элемент матрицы , расположенный в клетке блока . Так как , есть сумма элементов в клетках и матриц , . Но элемент матрицы в клетке является суммой произведений элементов в строке матрицы на элементы столбца матрицы . Далее, элементы строки матрицы совпадают с некоторыми элементами строки в , а именно, с , где индекс определяется неравенствами

, если

, если

Элементы столбца

матрицы будут элементами в . Следовательно,

Мы определили миноры порядка

для определителя. В общем случае, если из -матрицы выбросить все строки, кроме строк , и все столбцы, кроме столбцов , то определитель полученной в результате матрицы называется минором матрицы порядка , то

Миноры, для которых

, называются главными для матрицы . Если - матрица, то и алгебраическое дополнение , например, есть

Если квадратная матрица является произведением некоторых матриц (которые могут быть прямоугольными), то иногда важно выразить определитель произведения в терминах свойств сомножителей. Следующая теорема - мощный результат этого рода.

§7 Теорема (формула Бине-Коши)

Теорема (формула Бине-Коши)

Пусть

, - и -матрицы соответственно, и

Тогда

Другими словами, при

определитель матрицы является суммой произведений всевозможных миноров порядка в на соответствующие миноры матрицы того же самого порядка.

Упражнение1. Покажем на примере

Пусть

, , и , тогда по формуле Коши-Бине: