Пусть

элементарная матрица порядка

, тогда справедливо равенство:

1)

., т.е

получена из матрицы

, умножением

-строки на скаляр

. Определитель матрицы

.
Матрица

получена из

умножением

-строки на скаляр

, поэтому определитель

2)

Матрица, полученная из

прибавлением к

-строке

Лемма 2

-элементарные матрицы
1)

, доказательство следует из Леммы 1
2)

, доказательство из утверждения (1) при условии

Теорема 1
Определитель произведения двух матриц равен произведению их определителей т.е.

Доказательство:
Пусть строки матрицы

линейно независимы, тогда существует цепочка элементарных преобразований

, тогда по Лемме 2 следует, что

. Из того, что (

) имеем:

, тогда

2) Строки

линейно зависимы, тогда существует цепочка элементарных преобразований, которая переводит

в ступенчатую матрицу

, у которой есть нулевая строка т.е.

,

. Тогда

Из того, что

, в произведении

, тоже есть нулевая строка, потому

Необходимые и достаточные условия равенства определителя нулю

поле скаляров,

,-матрица над полем

Теорема 1

строки (столбцы) матрицы

линейно зависимы
Достаточность:
Если строки (столбцы) матрицы

линейно зависимы, то какая-то строка является линейной комбинацией других строк (по 8 свойсву определителей)

Необходимость:
Пусть

. Докажем, что строки

линейно зависимы. Предположим, что строки

линейно независимы, тогда существует цепочка элементарных преобразований переводящее

. Из доказанного в пункте II следует, что

. Получили противоречье

. Докажем, что если

-строка матрицы

линейно зависима,

, но

(числа векторов столбца)

линейно зависима.
Теорема 2

следующие условия равносильны:
1)

2)

-линейно зависимы
3)

-обратима
4)

представима в виде произведения элементарных матриц
Доказательство:

доказано в Теореме 1
§6 Разбиение матриц
Если

матрицу

,

матрицу

,

матрицу

и

матрицу

записать в виде

(1)
То они, образуют некоторую

матрицу

. В таком случае

могут быть названы блоками матрицы

. И обозначены

соответственно. Представление (1) называется разбиением матрицы

.
Если матричное произведение

существует и

,

разбиты на блоки

,

, а разбиение по столбцам матрицы

соответствует разбиению по строкам матрицы

, то можно ожидать, что

имеет блоки

, задаваемые формулой