Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине (стр. 6 из 11)

Опр. Минор

элемента определителя порядка - определитель порядка , полученный из вычеркиванием -строки и -столбца.

Главные миноры определителя

Для

главные миноры есть определители

, , …, ,

Пример:

Рассмотрим матрицу

и вычислим ее миноры : , ,

Определение. Алгебраическим дополнением элемента

обозначается называется число

Пример: Вычислим

, ,

Лемма 1

и .

Доказательство:

(в сумме только те слагаемые ненулевые, где )

Тогда подстановка имеет вид:

, где . К подстановке поставим в соответствие т.е

, такое соответствие называется взаимооднозначным отображением множества подстановок на множество подстановок , . Очевидно, что и имеют одинаковые инверсии, значит имеют одинаковую четность и знаки

Лемма 2

Если равны нулю все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы

за исключением быть может одного элемента, то определитель матрицы равен произведению этого элемента на его алгебраическое дополнение

Доказательство:

Пусть все элементы

-строки матрицы за исключением элемента , перестановкой строк и столбцов переместили элемент в правый нижний угол , значит строк и -столбцов. Знак будет меняться раз, после этого получиться матрица у которой все элементы последней строки кроме может быть равны нулю. По Лемме 1 , т к

Теорема Лагранжа

равна сумме произведений элементов какого-либо столбца (строки) матрицы на их алгебраическое дополнение. Другими словами: разложение по -столбцу матрицы имеет вид: , а разложение по -строке матрицы :

Доказательство:

рассмотрим

-столбец матрицы и запишем в виде: , по 6 свойству определителей:

, аналогично доказывается формула разложение по -строке матрицы .

Теорема 2

Справедливы равенства:

Рассмотрим матрицу

, которая получена из матрицы следующим образом: все столбцы матрицы , кроме -го такие же как и у матрицы . -тый столбец матрицы совпадает с -столбцом , тогда у два одинаковых столбца, поэтому определитель матрицы равен нулю, разложим определитель матрицы по -тому столбцу.

, , тогда . Формула (2) показывается аналогично.

Следствие:

§5 Определитель произведение матриц

поле скаляров, ,

Лемма 1