Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине (стр. 5 из 11)

При перестановке двух столбцов (строк) матрицы

ее определитель изменит знак.

Доказательство:

I) Перестановка столбцов:

Пусть

- это матрица, полученная из перестановкой двух столбцов с номерами , где . Рассмотрим транспозицию:

, транспозиция является нечетной подстановкой , ,

В доказательстве будем использовать равенство:

Если

пробегает все множество значений , то тоже пробегает все значения и

II) Перестановка строк

Пусть

получена из перестановкой двух строк, тогда получена из перестановкой двух столбцов, тогда

III) Определитель матрицы, имеющий две одинаковые строки (столбца) равных нулю

Доказательство:

Проведем для такого поля

, где

Замечание

Доказательство для случая

найди в учебнике Куликовой Алгебра и теория чисел

Пусть в

есть две одинаковые строки с номерами и , где , поменяем местами строки и , получим матрицу

(по св.2)

и , тогда

Если у

два одинаковых столбца, то у транспонированной матрицы две одинаковые строки

IV) Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы

умножить на , то определитель умножиться на

Доказательство:

Пусть

получена из умножением на строки

так как , то

Аналогичное доказательство для столбцов

V) Определитель матрицы у которой две строки (столбца) пропорциональны равны нулю

Доказательство:

Пусть в матрице

, строки пропорциональны т.е -строка равна произведению на -строку. Пусть

Для столбцов:

Пусть

получена из , . Столбцы и пропорциональны и

VI) Если каждый элемент

-строки(столбца) квадратной матрицы есть сумма двух элементов, то определитель равен сумме двух определителей. В матрице первого определителя в - строке (столбце), записаны первые слагаемые, а в матрице второго определителя вторые слагаемые. Остальные элементы матриц этих определителей такие же как у матрицы

Доказательство:

VII) Ели к какой либо строке (столбцу) матрице определителя прибавить другую строку (столбец), умноженный на

, то определитель неизменится.

Доказательство:

Для столбцов анологично.

VIII) Если какая либо строка (столбец) матрицы

является линейной комбинацией других строк (столбцов) , то определитель

Доказательство:

Если какая то строка линейная комбинация других строк, то к ней можно прибавить другие строки, умноженные на скаляры так, чтобы получилась нулевая строка. Определитель такой матрицы равен нулю.

Пример:

(сначала умножаем первую строку на -2 и складываем со второй, затем на -3 и складываем с третей). Такое правило приведения к треугольному виду используется для определителей - порядка:

так как определитель треугольной матрицы равен произведению элементов расположенных на главной диагонали.

Если квадратная матрица является произведением некоторых матриц (которые могут быть прямоугольными), то часто бывает важно иметь возможность выразить определитель произведения в терминах свойств множителей. Следующая теорема –мощный показатель этого.

§4 Миноры и алгебраические дополнения.

Теоремы об определителях.

поле скаляров,